Formules de Taylor. Développements limités
COURS
19
1 Formule de Taylor avec reste intégral
ORTHOGRAPHE
Conformément au programme officiel, nous écrivons «reste intégral »
où «intégral »e st un adjectif comme
dans «calcul intégral ». Certains préférent écrire «reste intégrale »où«intégrale »est un substantif.
Théorème 1
Soit p ∈ N , f une fonction de R dans R ou dans C ,declasse C
p+1
sur un
intervalle I , et a un élément de I .
∀x ∈ If ( x ) =
p
k = 0
( x − a )
k
k !
f
( k )
( a )+
x
a
(x−t)
p
p!
f
( p +1)
(t)dt
IMPORTANT
Brook Taylor:mathématicien britannique (1685-1731).
Il s’intéressaàde multiplesq uestions
scientifiques:mouvement d’un projectile, trajectoire d’un rayonl umineux dans un milieu hétérogène.C’est
en 1715 qu’il propose le développement d’une fonction au voisinage d’un
point.
Cette égalité estappelée formule de Taylor avec reste intégral àl’ordre p.
Démonstration
Raisonnons par récurrence sur l’entier p.
• p = 0: pour toute fonction f de classe C
1
:
f (x) = f (a)+
x
a
f
(t)dt
par définition de l’intégrale de la fonction continue f
.
• Soit p un entier naturel vérifiant la propriété et soit f une fonctiond e
classe C
p+2
sur I . Afortiori, f est de classe C
p+1
, donc d’après l’hypothèsede
récurrence :
∀x ∈ If ( x ) = f ( a )+(x−a)f
(a)+···+
(x−a)
p
p!
f
(p)
(a)+
x
a
(x−t)
p
p!
f
( p +1)
(t)dt
Calculons par parties la dernière intégrale :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u
(t) =
(x − t)
p
p!
u(t) = −
(x − t)
p+1
(p +1)!
v(t) = f
(p+1)
(t)
v
(t) = f
(p+2)
(t)
(On vérifieque u et v sont de classe C
1
sur I .)
x
a
(x − t)
p
p!
f
(p+1)
(t)dt=
−
( x−t)
p +1
(p +1)!
f
(p+1)
(t)
x
a
+
x
a
(x − t)
p+1
(p +1)!
f
(p+2)
(t)dt
=
( x−a )
p +1
(p +1)!
f
(p+1)
(a)+
x
a
(x−t)
p +1
(p +1)!
f
(p+2)
(t)dt
On obtient bien la formule cherchée au rang p +1.
La propriété estdonc établie pour tout entier naturel p.
IMPORTANT
En posant x = a + h et en effectuant
le changement de variable u = t − a,
on obtient :
f (a + h) = f (a)+hf
(a)
+h
2 f
(a)
2!
+ ···+h
p f
(p) (a)
p!
+
h
0
(h−u)
p
p!
f
(p+1) (a + u)du
Exemples :
e
h
= 1+h+
h
2
2!
+ ···+
h
p
p!
+
h
0
(h−u)
p
p!
e
u
du
sin h = h −
h
3
3!
+ ···+(−1)
p−1 h
2p−1
(2p − 1)!
+
h
0
(h − u)
2p−1
(2p − 1)!
sin
u + pπ
d u
cos h = 1 −
h
2
2!
+ ···+(−1)
p h
2p
(2p)!
+
h
0
(h − u)
2p
(2p)!
cos
u +(2p+1)
π
2
du
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
343
COURS
19
1 Formule de Taylor avec reste intégral
ORTHOGRAPHE
Conformément au programme officiel, nous écrivons «reste intégral »
où «intégral »e st un adjectif comme
dans «calcul intégral ». Certains préférent écrire «reste intégrale »où«intégrale »est un substantif.
Théorème 1
Soit p ∈ N , f une fonction de R dans R ou dans C ,declasse C
p+1
sur un
intervalle I , et a un élément de I .
∀x ∈ If ( x ) =
p
k = 0
( x − a )
k
k !
f
( k )
( a )+
x
a
(x−t)
p
p!
f
( p +1)
(t)dt
IMPORTANT
Brook Taylor:mathématicien britannique (1685-1731).
Il s’intéressaàde multiplesq uestions
scientifiques:mouvement d’un projectile, trajectoire d’un rayonl umineux dans un milieu hétérogène.C’est
en 1715 qu’il propose le développement d’une fonction au voisinage d’un
point.
Cette égalité estappelée formule de Taylor avec reste intégral àl’ordre p.
Démonstration
Raisonnons par récurrence sur l’entier p.
• p = 0: pour toute fonction f de classe C
1
:
f (x) = f (a)+
x
a
f
(t)dt
par définition de l’intégrale de la fonction continue f
.
• Soit p un entier naturel vérifiant la propriété et soit f une fonctiond e
classe C
p+2
sur I . Afortiori, f est de classe C
p+1
, donc d’après l’hypothèsede
récurrence :
∀x ∈ If ( x ) = f ( a )+(x−a)f
(a)+···+
(x−a)
p
p!
f
(p)
(a)+
x
a
(x−t)
p
p!
f
( p +1)
(t)dt
Calculons par parties la dernière intégrale :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u
(t) =
(x − t)
p
p!
u(t) = −
(x − t)
p+1
(p +1)!
v(t) = f
(p+1)
(t)
v
(t) = f
(p+2)
(t)
(On vérifieque u et v sont de classe C
1
sur I .)
x
a
(x − t)
p
p!
f
(p+1)
(t)dt=
−
( x−t)
p +1
(p +1)!
f
(p+1)
(t)
x
a
+
x
a
(x − t)
p+1
(p +1)!
f
(p+2)
(t)dt
=
( x−a )
p +1
(p +1)!
f
(p+1)
(a)+
x
a
(x−t)
p +1
(p +1)!
f
(p+2)
(t)dt
On obtient bien la formule cherchée au rang p +1.
La propriété estdonc établie pour tout entier naturel p.
IMPORTANT
En posant x = a + h et en effectuant
le changement de variable u = t − a,
on obtient :
f (a + h) = f (a)+hf
(a)
+h
2 f
(a)
2!
+ ···+h
p f
(p) (a)
p!
+
h
0
(h−u)
p
p!
f
(p+1) (a + u)du
Exemples :
e
h
= 1+h+
h
2
2!
+ ···+
h
p
p!
+
h
0
(h−u)
p
p!
e
u
du
sin h = h −
h
3
3!
+ ···+(−1)
p−1 h
2p−1
(2p − 1)!
+
h
0
(h − u)
2p−1
(2p − 1)!
sin
u + pπ
d u
cos h = 1 −
h
2
2!
+ ···+(−1)
p h
2p
(2p)!
+
h
0
(h − u)
2p
(2p)!
cos
u +(2p+1)
π
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du
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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