19
Formules de Taylor
Développements
limités
OBJECTIFS
OBJECTIFS
• Étudier différentesf ormes de la
formuledeTaylor et leursapplications.
• Appliquer la formule de TaylorYoung pour découvrir les développementslimités usuels.
• S’entraîner au calcul de développements limités de fonctions
composées.
• Utiliser les développements limités dans les calculsd el imite et
dans l’étudedes courbes.
INTRODUCTION
N
ousavons étudié dans le chapitre 12 une formule de Taylor concernant les polynômes. Elle
ne s’applique évidemment pas sans changement àune
fonction non polynomiale.I le xiste cependant une
formule analogue pour les fonctions de classe C
p
,
moyennantunterme supplémentaire appelé «reste ».
Nous exprimeronsd’abord ce reste sous forme d’une
intégrale. Nous chercherons ensuite àlemajorer, ce
qui donne accèsàdes méthodes très efficaces d’approximation. Nousl’écrirons enfin comme une fonction négligeable devant unepuissance de la variable,
ce qui permet de calculer très aisément lesdéveloppements limités des fonctions usuelles, que nous apprendrons àc ombiner pour obtenir desd éveloppements
limités de fonctions composées. C’est en 1715 que
Brook Taylor publia pourlapremière fois la formule
àlaquelle son nom reste attaché. Les développements
limités luis ont antérieurs, même s’ils ne sont pas
toujours formulés avec rigueur. En particulier, le célèbre «binôme de Newton »désigne le développement
limité de (1 + x)
α
au voisinagede 0, pour des valeursd e α qui ne sont pas nécessairement entières,
généralisant ainsi la simpleformule du binôme.
342
Formules de Taylor
Développements
limités
OBJECTIFS
OBJECTIFS
• Étudier différentesf ormes de la
formuledeTaylor et leursapplications.
• Appliquer la formule de TaylorYoung pour découvrir les développementslimités usuels.
• S’entraîner au calcul de développements limités de fonctions
composées.
• Utiliser les développements limités dans les calculsd el imite et
dans l’étudedes courbes.
INTRODUCTION
N
ousavons étudié dans le chapitre 12 une formule de Taylor concernant les polynômes. Elle
ne s’applique évidemment pas sans changement àune
fonction non polynomiale.I le xiste cependant une
formule analogue pour les fonctions de classe C
p
,
moyennantunterme supplémentaire appelé «reste ».
Nous exprimeronsd’abord ce reste sous forme d’une
intégrale. Nous chercherons ensuite àlemajorer, ce
qui donne accèsàdes méthodes très efficaces d’approximation. Nousl’écrirons enfin comme une fonction négligeable devant unepuissance de la variable,
ce qui permet de calculer très aisément lesdéveloppements limités des fonctions usuelles, que nous apprendrons àc ombiner pour obtenir desd éveloppements
limités de fonctions composées. C’est en 1715 que
Brook Taylor publia pourlapremière fois la formule
àlaquelle son nom reste attaché. Les développements
limités luis ont antérieurs, même s’ils ne sont pas
toujours formulés avec rigueur. En particulier, le célèbre «binôme de Newton »désigne le développement
limité de (1 + x)
α
au voisinagede 0, pour des valeursd e α qui ne sont pas nécessairement entières,
généralisant ainsi la simpleformule du binôme.
342