EXERCICES
18
Intégrales et primitives d’une fonction continue
9 Calculer l’intégrale suivante,g râce àunchangement
de variable échangeant les deux bornes :
π
4
0
ln(1 +tan x)dx
10 Soit f une fonction continue sur [a, b]t elle que :
∀x ∈ [a, b] f (a + b − x) = f (x)
Calculer
J =
b
a
xf(x)dx en fonction de I =
b
a
f (x)dx
Application :calculer les intégrales :
J 1 =
π
0
x dx
1+sin x
;
J 2 =
2π
0
x sin x
1+cos 2 x
dx
11 On considère l’intégrale :
I =
π
2
π
3
dx
sin x +sin 2x
1) Montrer que I =
1
2
0
du
(1 − u)(1 + u)(1 +2u)
.
2) Trouver3réels a, b, c tels que pour tout u ∈ [0,
1
2
]:
1
(1 − u)(1 + u)(1 +2u)
=
a
1−u
+
b
1+u
+
c
1+2u
3) En déduire I .
12 Calculer de deux façons l’intégrale :
I =
π
2
0
dx
sin x +cos x
13 Calculer les intégrales suivantes, en discutant suivant
les valeurs des réels strictement positifs a et b :
I =
π
2
0
dx
a + b cos x
et J =
π
2
0
dx
a + b sin x
14 Calculer l’intégrale :
I =
b
a
(x − a)(b − x)dx (a < b)
(On écrira le trinôme (x − a)(b − x)s ous la forme canonique, et on s’inspirerad el ’exemple 2d up aragraphe
2.4.)
Suites d’intégrales
15 Calculer par récurrence l’intégrale :
I n =
1
n!
1
0
(1 − t)
n
e
t
dt
En déduire un encadrement de e.
16 On considère la suite (I n )d éfinie par :
I n =
π
2
0
x
n
sin x dx
1) Établir une formule de récurrence.
2) En déduire I 2p et I 2p+1 sous forme de sommes.
17 On considère la suite (I n )d éfinie par :
I n =
e
1
(ln x)
n
dx
1) Montrer que la suite (I n )e st convergente.
2) Établirune formule de récurrence liant I n et I n−1 .
3) Trouver un équivalent de I n quand n tend vers +∞.
Intégrales et inégalités
18 Soit f unefonction dérivable strictement croissante
sur [0, a]t elle que f (0) = 0. Soit g la fonction réciproque de f , définiesur [0, f (a)].
1) On pose :
F (x) =
x
0
f (t)dt +
f(x)
0
g(t)dt
Montrer que F est dérivable, calculer F
(x)e tendéduire
F (x).
2) Soit u et v deux réels tels que :
0 u a
0 v f (a)
Montrerque :
uv
u
0
f (t)dt +
v
0
g(t)dt.
(Distinguer 3cas suivant la place de v par rapportà f(u).)
19 Soit f unefonction de classe C
1
de [0, 1] dans R
telle que f (0) = f (1) = 0.
1) Montrer que la fonction x
→ f (x)cot πx admetu ne
limite finie en 0eten1.
On désigne par g le prolongementcontinu de cette fonctionsur [0, 1], et on considère la fonction h = fg.
2) Montrer que h est dérivable sur ]0, 1[ et que :
∀x ∈]0, 1[ h
(x) = 2f
(x)g(x) − π
f (x)
2
+ g(x)
2
En déduire que h est de classe C
1
sur [0, 1].
3) Montrer que
∀x ∈ [0, 1] h
(x)
1
π
f
(x)
2
− πf (x)
2
4) En déduire que
1
0
f
(x)
2
dx π
2
1
0
f (x)
2
dx
340
18
Intégrales et primitives d’une fonction continue
9 Calculer l’intégrale suivante,g râce àunchangement
de variable échangeant les deux bornes :
π
4
0
ln(1 +tan x)dx
10 Soit f une fonction continue sur [a, b]t elle que :
∀x ∈ [a, b] f (a + b − x) = f (x)
Calculer
J =
b
a
xf(x)dx en fonction de I =
b
a
f (x)dx
Application :calculer les intégrales :
J 1 =
π
0
x dx
1+sin x
;
J 2 =
2π
0
x sin x
1+cos 2 x
dx
11 On considère l’intégrale :
I =
π
2
π
3
dx
sin x +sin 2x
1) Montrer que I =
1
2
0
du
(1 − u)(1 + u)(1 +2u)
.
2) Trouver3réels a, b, c tels que pour tout u ∈ [0,
1
2
]:
1
(1 − u)(1 + u)(1 +2u)
=
a
1−u
+
b
1+u
+
c
1+2u
3) En déduire I .
12 Calculer de deux façons l’intégrale :
I =
π
2
0
dx
sin x +cos x
13 Calculer les intégrales suivantes, en discutant suivant
les valeurs des réels strictement positifs a et b :
I =
π
2
0
dx
a + b cos x
et J =
π
2
0
dx
a + b sin x
14 Calculer l’intégrale :
I =
b
a
(x − a)(b − x)dx (a < b)
(On écrira le trinôme (x − a)(b − x)s ous la forme canonique, et on s’inspirerad el ’exemple 2d up aragraphe
2.4.)
Suites d’intégrales
15 Calculer par récurrence l’intégrale :
I n =
1
n!
1
0
(1 − t)
n
e
t
dt
En déduire un encadrement de e.
16 On considère la suite (I n )d éfinie par :
I n =
π
2
0
x
n
sin x dx
1) Établir une formule de récurrence.
2) En déduire I 2p et I 2p+1 sous forme de sommes.
17 On considère la suite (I n )d éfinie par :
I n =
e
1
(ln x)
n
dx
1) Montrer que la suite (I n )e st convergente.
2) Établirune formule de récurrence liant I n et I n−1 .
3) Trouver un équivalent de I n quand n tend vers +∞.
Intégrales et inégalités
18 Soit f unefonction dérivable strictement croissante
sur [0, a]t elle que f (0) = 0. Soit g la fonction réciproque de f , définiesur [0, f (a)].
1) On pose :
F (x) =
x
0
f (t)dt +
f(x)
0
g(t)dt
Montrer que F est dérivable, calculer F
(x)e tendéduire
F (x).
2) Soit u et v deux réels tels que :
0 u a
0 v f (a)
Montrerque :
uv
u
0
f (t)dt +
v
0
g(t)dt.
(Distinguer 3cas suivant la place de v par rapportà f(u).)
19 Soit f unefonction de classe C
1
de [0, 1] dans R
telle que f (0) = f (1) = 0.
1) Montrer que la fonction x
→ f (x)cot πx admetu ne
limite finie en 0eten1.
On désigne par g le prolongementcontinu de cette fonctionsur [0, 1], et on considère la fonction h = fg.
2) Montrer que h est dérivable sur ]0, 1[ et que :
∀x ∈]0, 1[ h
(x) = 2f
(x)g(x) − π
f (x)
2
+ g(x)
2
En déduire que h est de classe C
1
sur [0, 1].
3) Montrer que
∀x ∈ [0, 1] h
(x)
1
π
f
(x)
2
− πf (x)
2
4) En déduire que
1
0
f
(x)
2
dx π
2
1
0
f (x)
2
dx
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