Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Toute fonction qui possèdedes primitives sur un intervalle I est continue sur I .
b) Deux primitives d’une même fonction sur R
∗
diffèrent
d’une constante.
c) Si f est une fonction continue positive sur un intervalle I ,
∀(a, b) ∈ I
2
b
a
f (t)dt 0
d)
2
1
e
−x
2 dx =
4
1
e
−x
2
√
x
dx
e) En effectuant le changement de variable t =
1
x
, on peut
écrire :
2
1
dx
x
= −
2
1
dt
t
, ce quirevient à
2
1
dx
x
= 0?!
f) Toute primitived’une fonction rationnelle est rationnelle.
g) Si on connaît des primitives de deux fonctions, on peut
connaître une primitive de leur produit.
Primitives des fonctions usuelles
2 Calculer les intégrales :
a)
1
0
x
2
x 2 +3
dx;
b)
√
3
4
0
dx
√
3 − 4x 2
;
c)
π
4
0
(tan x +1)
2
dx ;
d)
π
3
π
6
dx
cos 2 x sin 2 x
;
e)
2
√
3
√ x 2 +3+
√ x 2 −3
√ x 4 −9
dx;
f)
1
−1
dx
x 4 − 4
.
3 Calculer pour x ∈ [0,
π
2
]:
I(x)=
x
0
cos t dt
cos t +sin t
et J (x) =
x
0
sin t dt
cos t +sin t
4 Calculer lesprimitives des fonctions rationnelles suivantes :
a)
x
3
+2x
x 2 +x+1
dx; b)
2x − 1
(x +1) 2 dx; c)
2x dx
x 2 − x +1
.
Intégration par parties
5 Calculer àl’aide d’une intégration par parties les primitives suivantes :
a)
x
α
ln x dx ;
b)
Arcsin x dx ;
c)
Arctan x dx ;
d)
x
3
e
αx
dx ;
e)
x
2
sin αx dx ;
f)
x
2
sin
3
x dx ;
g)
x
cos 2 x
dx ;
h)
sin(ln x)dx ;
i)
e
2x
cos 3x dx .
Changement de variable
6 Simplifierl ec alcul des primitives des fonctions rationnelles suivantes, grâce àunchangement de variable approprié:
a)
x dx
x 4 − x 2 − 2
;
b)
dx
x(x 3 +1)
;
c)
x
7
dx
(x 4 +1) 2 .
7 Calculer àl’aide d’un changement de variable :
a)
dx
cos x
;
b)
dx
sh x
;
c)
dx
sin x cos x
;
d)
e
1
(ln x)
n
x
dx ;
e)
1
2
0
Arcsin x
1 − x 2 dx ;
f)
π
4
0
tan
4
x dx ;
g)
π
2
0
sin
3
x
√ 2+cos x
dx .
8 Calculer de deux façons la primitive:
dx
(x 2 +1)
3
2
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