Intégrales et primitives d’une fonction continue
I n =
− cos x sin
n−1
x
π
2
0
+(n−1)
π
2
0
cos
2
x sin
n−2
x d x
= (n − 1)(I n−2 − I n )
D’où:
nI n = (n − 1)I n−2
4) En multipliantles deux membres de cette égalité par I n−1 , on obtient:
nI n I n−1 = (n − 1)I n−1 I n−2 , ce quie xprime que la suite (nI n I n−1 )e st
constante, égaleà I 0 I 1 =
π
2
.
5) Si la limite de la suite (I n )n ’était pas nulle, (n +1)I n I n+1 tendrait vers
l’infini. Donc lim
n→∞
I n = 0.
Penser àréutiliser le sens de variation de
la suite.
D’autre part,( I n )é tant décroissante,
I n+2
I n
I n+1
I n
I n
I n
, c’est-à-dire:
n+1
n+2
I n +1
I n
1 . On en déduit lim
n→∞
I n+1
I n
= 1.
Par conséquent, I n+1 ∼ I n , d’où nI
2
n ∼ (n +1)I n I n +1 =
π
2
. On en
conclut lim
n→∞
I n
√ n =
π
2
.
6) I 2n =
2n − 1
2n
2n − 3
2n − 2
···
1
2
I 0 =
(2n)!
2 2n (n!) 2
π
2
.
I 2n+1 =
2n
2n +1
2n−2
2n−1
···
2
3
I 1 =
2
2n
(n!)
2
(2n +1)!
.
Comme lim
n→∞
2(2n +1)I
2
2 n +1 = π , on obtient:
lim
n→∞
2
4n
n
2n
n
2 = π.
La TI-92/Voyage 200 confirme le calcul.
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