Intégrales et primitives d’une fonction continue
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour chercher lesprimitives d’une fonction continue, on peut :
• décomposer la fonctionenune somme de fonctions plus simples, par exemple :
–l inéariser un polynôme trigonométrique,
–d écomposer en éléments simples une fraction rationnelle (cf. exercices 2à4);
• intégrer par parties, éventuellement plusieurs fois (cf. exercice 5) ;
• effectuer un changementdevariables judicieux (cf. exercices 6à8).
Pour calculer l’intégralesur le segment [a, b]d ’une fonction continue dont on ne connaît pas de primitive, il
peut être intéressantd’effectuer le changement de variable t = a + b − x qui échange les deux bornes ;onpeut
obtenirune équation vérifiée par l’intégrale. (cf. exercices 9et10)
Pour obtenir une relation de récurrence vérifiée par une intégrale dépendant d’un entier, on peut souvent utiliser
une intégration par parties. (cf. exercices 15 à17)
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Exercice résolu
INTÉGRALES DE WALLIS
On considère la suite (I n ) définie parI n =
π
2
0
sin
n
xdx .
1 Calculer I 0 et I 1 .
2 Montrer quelasuite (I n ) converge.
3 Établir une formule de récurrence liant I n et I n−2 .
4 Montrer queleproduit (n +1)I n I n +1 est constant.
5 Calculer lim
n→∞
I n , lim
n→∞
I n+1
I n
et lim
n→∞
I n
√ n.
6 Calculer I 2n et I 2n+1 sousforme de produits et en déduire une suite de rationnels convergeant vers π.
Conseils
Solution
1) I 0 =
π
2
,
I 1 = 1.
Toute suite monotone bornée converge.
2) I n+1 − I n =
π
2
0
sin
n
x(sin x − 1) d x 0 . La suite( I n )e st donc
décroissante.Comme elle est minorée par 0, elle converge.
Les relations de récurrence sur les suites
d’intégraless’obtiennent souvent par intégration par parties.
3) Intégrons I n par parties pour n 2:
u
(x)=sin xu ( x ) = − cos x
v(x) = sin
n−1
xv
( x ) = ( n − 1) cos x sin
n−2
x
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