Intégrales et primitives d’une fonction continue
COURS
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Effectuons le changement de variable t =
x
a
d’où
x = at, dx = adt :
dx
x 2 + a 2 =
adt
a 2 t 2 + a 2 =
1
a
dt
t 2 +1
=
1
a
Arctan t + C
Soit :
dx
x 2 + a 2 =
1
a
Arctan
x
a
+ C
On ademême :
dx
a 2 − x 2 =
1
a
Argth
x
a
+ C sur]−a,a[
=
1
2a
ln
x + a
x − a
+ C
sur ] − ∞, −a[, ] − a, a[, ]a, +∞[
dx
√ a 2 − x 2
= Arcsin
x
a
+ C sur ] − a, a[
dx
√ x 2 − a 2
= Argch
x
a
+ C sur ]a, +∞[
dx
√ x 2 + a 2
= Argsh
x
a
+ C sur R
Pour s’entraîner :ex. 9et10
APPLICATION 4
Primitivesdefonctions rationnelles en sin x et cos x
Les primitives de fonctions rationnelles en sin x
et cos x (quotients de polynômest rigonométriques)
peuvents ouvent se calculer par changement de variable. Pour trouver un changement de variable intéressant, on examine les transformations qui laissent
invariante la différentielle f (x)dx et on prend une
nouvelle variable elle-même invariante par cette transformation.
• Si f (x)dx est invariant par la transformation
x
→ −x, on prend pour variable u = cos x.
• Si f (x)dx est invariant par la transformation
x
→ π − x, on prend pour variable u = sin x.
• Si f (x)dx est invariant par la transformation
x
→ π + x, on prend pour variable u = tan x,
sur des intervalles ne contenant pas de valeur de la
forme
π
2
+ kπ.
• Dans tous les cas, on peut prendre pour variable
u = tan
x
2
sur des intervalles ne contenant pas de
valeur de la forme π +2kπ.
Exemples :
I =
π
2
π
3
dx
sin x
dx
sin x
estinvariant quand on change x en −x :o n
pose u = cos x (de classe C
1
sur
π
3
,
π
2
), d’où
du = − sin x dx.
I =
π
2
π
3
sin x dx
1 − cos 2 x
=
0
1
2
−du
1 − u 2
=
1
2
ln
u − 1
u +1
0
1
2
=
1
2
ln 3
I =
π
2
0
dx
2+sin x
Aucune desrègles d’invariance ne s’applique :onpose
u = tan
x
2
(de classe C
1
sur
0,
π
2
),
d’où :
du =
1
2
(1 +tan
2 x
2
)dx, ou dx =
2du
1+u 2
I =
1
0
2du
1+u 2 ·
1
2+
2 u
1+u 2
=
1
0
du
u 2 + u +1
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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