COURS 18
Intégrales et primitives d’une fonction continue
Il fautpenser àtransformer :
–l es bornes de l’intégrale ;
–l ’expression de la fonction ;
–l ’élément différentiel dt.
On peut utiliser la formuledans les deux sens, c’est-à-dire :
–c hoisir une nouvelle variable fonction de l’ancienne ;
–o ub ien exprimer la variable initiale comme une fonction d’une nouvelle variable, dont on précisera l’intervalle de variations.
ATTENTION
Il faut bien vérifier toutes lesh ypothèses du théorème, en particulier que
la fonction ϕ utilisée soit bien de
classe C
1 surtout le segment [a, b].
Trouver l’erreur dans le calcul suivant
(vu dans un oral de concours !) :
On demande de calculer
I =
π
0
dx
1+cos 2 x
;
remarquant que:
I =
π
0
dx
1+
1
1+tan 2 x
=
π
0
(1 +tan
2 x)dx
2+tan 2 x
,
le candidat pose t = tan x, d’où
dt = (1 +tan
2 x)dx ;i lobtient donc :
I =
tan π
tan0
1
2+t 2 dt =0? ?
ce qui estm anifestement faux puisqu’on intègre une fonction continue
strictement positive...
Exemples :
Calculer l’intégrale I =
1
0
dx
ch x
=
1
0
2e
x
e 2x +1
dx.
Posons t = e
x
, d’oùd t=e
x
d x .
(Ici, ϕ est la fonction x
→ e
x
, qui est bien de classe C
1
sur [0, 1].)
I =
e
1
2
t 2 +1
dt =
2Arctan t
e
1
= 2Arctan e −
π
2
Calculer l’intégrale I =
1
0
1 − t 2 dt.
Posons t = sin x avec x ∈
0,
π
2
, d’oùd t=cos x dx.
(Ici, ϕ est la fonction x
→ sin x, qui est bien de classe C
1
sur
0,
π
2
.)
I =
π
2
0
1 − sin 2 x cos x dx =
π
2
0
cos
2
x dx =
π
2
0
1+cos 2x
2
dx =
π
4
Pour s’entraîner :ex. 6à8
APPLICATION 3
Changement de variable affine
Un simple changementdevariable affine peut être utile
pour :
• Exploiter la périodicité et les symétries de la fonction.
Calculer I =
2π
0
sin
3
x
1+cos 2 x
dx.
La fonction f : x →
sin
3
x
1+cos 2 x
estimpaire et périodiqued ep ériode 2π ;e ffectuons le changement de
variable t = 2π − x
I =
0
2π
f (2π − t)(−dt) = −
2π
0
f (t)dt = −I
D’où I = 0.
• Se ramener àune primitiveconnue. (Cet exemple, important, est àretenir...)
Calculer
dx
x 2 + a 2 (avec a > 0).
334