Intégrales et primitives d’une fonction continue
COURS
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APPLICATION 2
Intégration par parties généralisée
1) Soituet vd eux fonctions de classe C
n
sur [a, b].
Montrer que:
u
( n )
v=u
( n − 1)
v − u
(n−2)
v
+
···+(−1)
n−1
uv
(n−1)
+(−1)
n
uv
(n)
2) Exemple:Calculer I =
π
0
x
3
sin x dx.
1) La formule se démontre immédiatement par récurrence.
2)
u
(4)
(x) = sin xu
(3)
(x) = − cos x
u
(2)
(x) = − sin xu
( x ) = cos x
u(x) = sin xv ( x ) = x
3
v
( x ) = 3 x
2
v
(2)
(x) = 6x
v
(3)
(x) = 6
v
(4)
(x) = 0
D’où:
I =
−x
3
cos x +3x
2
sin x
+6x cos x − 6sin x]
π
0 = π
3
− 6π
On peut calculer de cettef açon toutes les primitives
de la forme:
P(x)e
αx
dx
P(x)cos βx dx
P(x)sin βx dx
où P estunpolynôme.
Pours’entraîner :ex. 5
2.4 • Changement de variable
Théorème 3
Soit f unefonction continue sur un intervalle I , et ϕ une fonctiondeclasse
C
1
sur [a, b]àvaleurs dans I .
b
a
f ◦ ϕ(x) ϕ
(x)dx =
ϕ(b)
ϕ(a)
f (t)dt
Démonstration
Soit F une primitive de f sur I . La fonction (f ◦ ϕ) ϕ
estladérivée de F ◦ ϕ
et elle est continue sur[ a , b ]c ar ϕ ◦ f et ϕ
le sont. Par conséquent :
b
a
f ◦ ϕ(x) ϕ
(x)dx = F◦ϕ(b)−F◦ϕ(a)
On reconnaît l’intégrale
ϕ(b)
ϕ(a)
f (t)dt.
Remarque :Dans la pratique, on pose :
t = ϕ(x) et dt = ϕ
(x)dx
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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