COURS 18
Intégrales et primitives d’une fonction continue
2.3 • Intégration par parties
Théorème 2
Soit u et v deux fonctions de classe C
1
sur [a, b]
u
v = uv−
uv
b
a
u
(x)v(x)dx =
u(x)v(x)
b
a
−
b
a
u(x)v
(x)dx
Démonstration
u, v, u
et v
étant continues sur [a, b], les fonctions u
v et uv
possèdent
des primitives sur [a, b]. uv est une primitive sur [a, b]d eu
v+uv
. Donc si
F est une primitive de uv
, uv − F est une primitive de u
v.
Exemples :
ln x dx = x ln x − x + C .
Arctan x dx = x Arctan x −
x
1+x 2 dx=xArctan x −
1
2
ln(1+x
2
)+C.
APPLICATION 1
I n =
1
0
dx
(x 2 +1) n pour n ∈ N
Calculer I 0 , I 1 , et I n+1 en fonction de I n pour
n ∈ N
∗
. Donner I 2 et I 3 .
Il est clair que I 0 = 1, I 1 =
π
4
. Supposons n ∈ N
∗
et effectuons une intégration par parties :
u
(x) = 1
u(x) = x
v(x) = (x
2
+1)
− n
v
(x)=−2nx(x
2
+1)
− n − 1
I n =
x
(x 2 +1) n
1
0
+2n
1
0
x
2
(x 2 +1) n +1 dx
Or :
1
0
x
2
(x 2 +1) n +1 dx =
1
0
x
2
+1
(x 2 +1) n +1 dx
−
1
0
1
(x 2 +1) n +1 dx = I n − I n+1
D’où :
I n =
1
2 n +2n(I n −I n +1 )
ce quiéquivaut à:
2nI n+1 = (2n − 1)I n +
1
2 n ,
soit :
∀n ∈ N
∗
I n+1 =
2n − 1
2n
I n +
1
n 2 n+1
Ce quidonne :
I 2 =
π
8
+
1
4
; I 3 =
3π
32
+
1
4
.
332