Intégrales et primitives d’une fonction continue
COURS
18
2.2 • Transformations d’expressions
Pour obtenirles primitives d’une fonction continue f , il faut souvent transformer
judicieusement l’expression de f (x).
Exemples :
• Linéariser un polynôme trigonométrique :calculer
π
0
sin
2
x cos
2
x dx.
sin
2
x cos
2
x =
1
4
sin
2
2x =
1
8
(1 − cos 4x)
D’où :
π
0
sin
2
x cos
2
x dx =
1
8
x −
1
4
sin4x
π
0
=
π
8
• Effectuer une division de polynômes :calculer
1
0
x
3
x +2
dx.
x
3
=(x
2
−2x+4)(x +2)−8
D’où :
x
3
x +2
=x
2
−2x+4−
8
x+2
1
0
x
3
x+2
dx=
x
3
3
−x
2
+4x−8ln|x+2|
1
0
=
10
3
+8ln
2
3
• Séparer les pôles d’une fraction rationnelle :calculer
3
2
dx
x 2 − 1
.
Cherchonsdeux réels a et b tels que pour tout x ∈ [2, 3] :
1
x 2 − 1
=
a
x − 1
+
b
x +1
en réduisant au même dénominateur, on obtient :
1
x 2 − 1
=
(a + b)x +(a−b)
x 2 −1
.
En identifiant les coefficients : a + b = 0, a − b = 1, d’où a =
1
2
, b = −
1
2
.
On en déduit :
3
2
dx
x 2 − 1
=
1
2
3
2
1
x − 1
−
1
x +1
dx=
1
2
ln |x−1|−ln |x+1|
3
2
=
1
2
ln
3
2
ÀRETENIR
Sur ] − ∞, −1[ , ] − 1, 1[
ou ]1, +∞[,
dx
x 2 − 1
=
1
2
ln
x − 1
x +1
+C
Remarque :Dans le tableau de primitives du paragraphe2 .1, nous avons donné
Argth xc omme primitive de
1
1 − x 2 sur l’intervalle ]−1, 1[ .C ette primitive
n’étaitpas applicable ici et celle que nous avons trouvée est plus générale.
Pour s’entraîner :ex. 2à4
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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