Intégrales et primitives d’une fonction continue
COURS
18
xx + h
y
x
a
b
c
f (c)
O
Doc. 1 Dérivéede ϕ.
C’est la valeur moyenne de f sur [x, x + h]( ou [x + h, x]s ih<0), et comme
f est continue, elle est atteinte (Doc. 1) ;ilexisteunréel c strictement compris
entre x et x + h tel que :
ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
= f (c)
Lorsque h tendvers 0, c tend vers x, et comme f est continue, f (c)t end
vers f (x). D’où :
lim
h→0
ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
= f (x)
Ce qui signifie que ϕ est dérivablee tq ue sa dérivée est f ; ϕ est donc une
primitivede f sur I . Il est clair qu’elles’annule en a.
Touteprimitive F de f sur I diffèrede ϕ d’une constante :
∀x ∈ IF ( x ) = ϕ ( x )+C
En particulier, F (a) = C , d’où :
∀x ∈ I ϕ(x) = F (x) − F (a)
Il en résulte que ϕ est l’unique primitivede f qui s’annule en a.
En particulier, pour toute fonction f de classe C
1
sur I :
x
a
f
(t)dt = f (x)−f (a)
1.3• Application aux calculs d’intégrales
Le calcul de l’intégrale d’une fonctioncontinue sur un segment se ramène donc,
chaque fois que c’est possible, àlarecherche des primitives de cette fonction. Si F
estune primitive de f sur [a, b]:
b
a
f(x)dx = F(b)−F(a) =
F(x)
b
a
Exemple : Calculer
π
4
0
tan
2
x dx :
On saitq ue 1+tan
2
x est la dérivéed et an x ;t an
2
x estd onc la dérivée de
tan x − x.
π
4
0
tan
2
x dx =
tan x − x
π
4
0
= 1 −
π
4
Contrairementaux calculs de dérivées, il n’existe pas de moyen systématique pour
trouver les primitives d’une fonction continue. Dans certains cas, l’expression des
primitives peut être très compliquée ;i ls ep eut même qu’aucune primitive ne
puisse s’exprimer àl’aide des fonctions usuelles :ilfaut alors définir de nouvelles
fonctions (c’est ce que nous avons fait dès le début de l’année en définissant le
logarithmenépérien comme la primitive de x
→
1
x
sur R
∗
+ qui s’annule en 1).
Par commodité, on note
f (x)dx l’ensemble des primitives de la fonction f ;
il ne faut pas oublier qu’une telle primitive n’estdéfinie qu’à une constante près.
Exemple:Sur
−
π
2
,
π
2
:
tan
2
x dx = tan x − x + C .
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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xx + h
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Doc. 1 Dérivéede ϕ.
C’est la valeur moyenne de f sur [x, x + h]( ou [x + h, x]s ih<0), et comme
f est continue, elle est atteinte (Doc. 1) ;ilexisteunréel c strictement compris
entre x et x + h tel que :
ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
= f (c)
Lorsque h tendvers 0, c tend vers x, et comme f est continue, f (c)t end
vers f (x). D’où :
lim
h→0
ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
= f (x)
Ce qui signifie que ϕ est dérivablee tq ue sa dérivée est f ; ϕ est donc une
primitivede f sur I . Il est clair qu’elles’annule en a.
Touteprimitive F de f sur I diffèrede ϕ d’une constante :
∀x ∈ IF ( x ) = ϕ ( x )+C
En particulier, F (a) = C , d’où :
∀x ∈ I ϕ(x) = F (x) − F (a)
Il en résulte que ϕ est l’unique primitivede f qui s’annule en a.
En particulier, pour toute fonction f de classe C
1
sur I :
x
a
f
(t)dt = f (x)−f (a)
1.3• Application aux calculs d’intégrales
Le calcul de l’intégrale d’une fonctioncontinue sur un segment se ramène donc,
chaque fois que c’est possible, àlarecherche des primitives de cette fonction. Si F
estune primitive de f sur [a, b]:
b
a
f(x)dx = F(b)−F(a) =
F(x)
b
a
Exemple : Calculer
π
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tan
2
x dx :
On saitq ue 1+tan
2
x est la dérivéed et an x ;t an
2
x estd onc la dérivée de
tan x − x.
π
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0
tan
2
x dx =
tan x − x
π
4
0
= 1 −
π
4
Contrairementaux calculs de dérivées, il n’existe pas de moyen systématique pour
trouver les primitives d’une fonction continue. Dans certains cas, l’expression des
primitives peut être très compliquée ;i ls ep eut même qu’aucune primitive ne
puisse s’exprimer àl’aide des fonctions usuelles :ilfaut alors définir de nouvelles
fonctions (c’est ce que nous avons fait dès le début de l’année en définissant le
logarithmenépérien comme la primitive de x
→
1
x
sur R
∗
+ qui s’annule en 1).
Par commodité, on note
f (x)dx l’ensemble des primitives de la fonction f ;
il ne faut pas oublier qu’une telle primitive n’estdéfinie qu’à une constante près.
Exemple:Sur
−
π
2
,
π
2
:
tan
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x dx = tan x − x + C .
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