COURS 18
Intégrales et primitives d’une fonction continue
1 Primitives et intégrale
d’unefonction continue
1.1 • Primitives d’une fonction continue
Soit f unef onction continue d’une variable réelle, àv aleurs dans R ou C.O n
appelle primitive de f toutefonction F dérivable dont la dérivéeest f .
Attention:Il existe des fonctions continues par morceaux qui ne sont la dérivée
d’aucune fonction (par ex :Partie entière) ;ladéfinition d’une primitive ne peut
être étendue sans changement au cas des fonctions continues par morceaux.
Si F est une primitive de f , alorstoute fonction de la forme x
→ F (x)+c est
encore uneprimitive de f . La réciproqueest vraie sur un intervalle,eneffet :
F 1 et F 2 étant deux primitives d’une même fonction sur une partie D de R ,
constituée d’une réunion d’intervalles, la fonction F 1 − F 2 aune dérivée nulle sur
D :e lle est constante sur chaque intervalle de D. Par conséquent, dès que l’on
connaîtune primitive F de f sur D, on connaîtl’ensemble de ses primitives,
qui est l’ensemble des fonctions F + C où C est une fonction constante sur
chaque intervalle de D.
Exemple:Sachant que x
→ ln |x| est une primitive de x
→
1
x
sur R
∗
,
l’ensemble des primitives de cettefonction est l’ensemble des fonctions F de la
forme:
∀x∈R
∗
−
F(x)=ln(−x)+c 1
∀x∈R
∗
+
F(x)=ln(x)+c 2
où c 1 et c 2 sont deux constantes arbitraires.
1.2 • Théorème fondamental
Théorème 1
Soit f une fonction continue sur un intervalle I , et a un point de I . La
fonction :
x
→
x
a
f (t)dt
est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
Pour toute primitive F de f sur I :
x
a
f (t)dt = F(x)−F(a)
Démonstration
Désignons par ϕ la fonction définiesur I par :
ϕ(x) =
x
a
f (t)dt
Soit x ∈ I . Montrons que ϕ est dérivable en x. Pour tout réel h non nul tel
que x + h ∈ I ,
ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
=
1
h
x+h
x
f (t)dt
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