EXERCICES
17
Intégration surunsegment
10 Calculer les limitessuivantes :
a) lim
n→+∞
n
k=1
n
n 2 + k 2 ;
b) lim
n→+∞
n
k=1
k
n 2 + k 2 ;
c) lim
n→+∞
1
n 2
n
k=1
k(n − k);
d) lim
n→+∞
1
n
n
√ 2+
n
√
4+···+
n
√ 2 n
;
e) lim
n→+∞
1
n
n
(n +1)(n +2)···2n.
11
∗
Soit f unefonction continue par morceaux et croissante sur [a, b]. On considère les sommes de Riemann :
S n =
b − a
n
n−1
i=0
f
a + i
b − a
n
et
S
n =
b − a
n
n
i=1
f
a + i
b − a
n
1) Démontrer que pour tout n ∈ N
∗
:
S n
[a,b]
f S
n .
2) Calculer S
n − S n .
3) En déduireque les suites S n et S
n convergent vers :
[a,b]
f .
4) Généraliser au cas d’une fonction décroissante, puis au cas
d’une fonction monotone par morceaux sur [a, b]( c’est-àdire qu’il existe une partition finie de [a, b]e nintervalles
sur chacun desquels la fonction est monotone).
Exercice posé aux oraux des concours
12 (Mines 2007)
Pour tout n ∈ N
∗
,onpose : u n =
2n
n
1
n .
1) Montrer que :
∀n ∈ N
∗
1
1
n
ln
1+x
x
dxln u n
ln(n +1)
n
+
1
1
n
ln
1+x
x
dx
2) En déduire la limite de la suite (u n ).
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