Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Une fonction este ne scalier sur un segment si et seulement si ce segment estune réunion d’intervalles sur chacun
desquels la fonction est constante.
b) Une fonction qui n’a qu’un nombre fini de points de
discontinuité sur un segment estc ontinue par morceaux
sur ce segment.
c) Toute fonction continue par morceaux sur un segment
peut être approchéed’aussi près que l’on veut par des fonctionsenescalier.
d) Toute fonction que l’on peut approcher d’aussi près que
l’onv eut pard es fonctions en escalier sur un segment est
continue par morceaux surcesegment.
e) Toute fonction en escalier sur un segment estc ontinue
par morceaux sur ce segment.
f) Toute fonction continue par morceaux sur un segment
possède des primitives sur ce segment.
g) Toute fonction qui possède des primitives sur un segment
est continue par morceaux sur ce segment.
h) Si une fonction f est continues ur un segment I , la
suite des sommes de Riemann de f converge vers l’intégrale de f sur I .
Fonctions continues par morceaux
2 Construire une fonction f croissante sur [0, 1] et
non continuepar morceaux.
3 Soit f et g deux fonctions continues par morceaux
sur [0, 1] telles que:
∀x∈[0, 1] f (x) =
x
0
g(t)dt et g(x) =
x
0
f (t)dt
Montrerque les fonctions f et g sont nulles sur [0, 1].
4 Calculer la limite: lim
x→0
2x
x
cos t
t
dt.
5 Soit f la fonction définiepar :
f (x) =
x
2
x
dt
ln t
.
1) En utilisant la concavité de la fonction logarithme, démontrer que :
∀x ∈ R
∗
+ \{1}∀ t ∈ [1, x
2
]
2lnx
x 2 −1
(t−1) ln t t−1
2) En déduire que f admet une limite finie au point 1.
3) Montrer que la fonction f , prolongée par continuité en
1, est dérivable sur R
∗
+ et calculer sa dérivée.
4) Déterminer un développement limité àl ’ordre 3d e f
au voisinage de 1.
6 Soit f la fonction définie sur R + par :
∀x > 0 f (x) = x
3
2 sin
1
x
f (0) = 0
Montrerque f est dérivable sur R + . La fonction f
estelle continue parmorceaux sur [0, 1] ?
Toute fonction admettant des primitives est-elle continue
par morceaux ?
Toute fonction continue par morceaux admet-elle des primitives?
7
∗ Soit f une fonctioncontinue et positivesur [a, b].
Pour tout n ∈ N
∗
, on considèreleréel :
I n =
b
a
f (x)
n dx
1
n
Montrer que la suite (I n )c onvergevers: M = max
x∈[a,b]
f (x).
8 1) Soit n ∈ N
∗
. Déterminer deux réels a et b tels
que :
π
0
(ax + bx
2
)cos nx dx =
1
n 2
2) En déduire la limite quand p tend vers +∞ de la somme
S p =
p
n=1
1
n 2 .
On se servira du lemme de Lebesgue (voir Exercice résolu).
Sommes de Riemann
9 Calculer, sans utiliser de primitives, les intégrales suivantes :
a)
1
0
t dt ; b)
1
0
t
2
dt ; c)
1
0
e
t
dt ; d)
π
2
0
cos t dt.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
325
1 Vraioufaux ?
a) Une fonction este ne scalier sur un segment si et seulement si ce segment estune réunion d’intervalles sur chacun
desquels la fonction est constante.
b) Une fonction qui n’a qu’un nombre fini de points de
discontinuité sur un segment estc ontinue par morceaux
sur ce segment.
c) Toute fonction continue par morceaux sur un segment
peut être approchéed’aussi près que l’on veut par des fonctionsenescalier.
d) Toute fonction que l’on peut approcher d’aussi près que
l’onv eut pard es fonctions en escalier sur un segment est
continue par morceaux surcesegment.
e) Toute fonction en escalier sur un segment estc ontinue
par morceaux sur ce segment.
f) Toute fonction continue par morceaux sur un segment
possède des primitives sur ce segment.
g) Toute fonction qui possède des primitives sur un segment
est continue par morceaux sur ce segment.
h) Si une fonction f est continues ur un segment I , la
suite des sommes de Riemann de f converge vers l’intégrale de f sur I .
Fonctions continues par morceaux
2 Construire une fonction f croissante sur [0, 1] et
non continuepar morceaux.
3 Soit f et g deux fonctions continues par morceaux
sur [0, 1] telles que:
∀x∈[0, 1] f (x) =
x
0
g(t)dt et g(x) =
x
0
f (t)dt
Montrerque les fonctions f et g sont nulles sur [0, 1].
4 Calculer la limite: lim
x→0
2x
x
cos t
t
dt.
5 Soit f la fonction définiepar :
f (x) =
x
2
x
dt
ln t
.
1) En utilisant la concavité de la fonction logarithme, démontrer que :
∀x ∈ R
∗
+ \{1}∀ t ∈ [1, x
2
]
2lnx
x 2 −1
(t−1) ln t t−1
2) En déduire que f admet une limite finie au point 1.
3) Montrer que la fonction f , prolongée par continuité en
1, est dérivable sur R
∗
+ et calculer sa dérivée.
4) Déterminer un développement limité àl ’ordre 3d e f
au voisinage de 1.
6 Soit f la fonction définie sur R + par :
∀x > 0 f (x) = x
3
2 sin
1
x
f (0) = 0
Montrerque f est dérivable sur R + . La fonction f
estelle continue parmorceaux sur [0, 1] ?
Toute fonction admettant des primitives est-elle continue
par morceaux ?
Toute fonction continue par morceaux admet-elle des primitives?
7
∗ Soit f une fonctioncontinue et positivesur [a, b].
Pour tout n ∈ N
∗
, on considèreleréel :
I n =
b
a
f (x)
n dx
1
n
Montrer que la suite (I n )c onvergevers: M = max
x∈[a,b]
f (x).
8 1) Soit n ∈ N
∗
. Déterminer deux réels a et b tels
que :
π
0
(ax + bx
2
)cos nx dx =
1
n 2
2) En déduire la limite quand p tend vers +∞ de la somme
S p =
p
n=1
1
n 2 .
On se servira du lemme de Lebesgue (voir Exercice résolu).
Sommes de Riemann
9 Calculer, sans utiliser de primitives, les intégrales suivantes :
a)
1
0
t dt ; b)
1
0
t
2
dt ; c)
1
0
e
t
dt ; d)
π
2
0
cos t dt.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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