Intégration surunsegment
Une fonction continue par morceaux
peut être approchéed’aussi près que l’on
veut par des fonctions en escalier.
3) Supposons maintenant f continue par morceaux sur [a, b]. La fonction t
→ f (t)sin nt esta ussi continue par morceaux sur [a, b]. Soit
ε > 0; pour ε
quel ’on choisira ultérieurement, il existe une fonction
en escalier ϕ telle que ∀x ∈ [a, b] | f (x) − ϕ(x)| ε
.
b
a
f (t)s in nt d t −
b
a
ϕ(t)s in nt d t
b
a
| f (t) − ϕ(t)| d t ε
(b − a)
D’où:
b
a
f(t)s in nt d t
b
a
ϕ(t)s in nt d t
+ ε
(b − a)
On choisit ε
=
ε
2(b − a)
.D’après le 2),ilexisteunentier N tel que :
∀n N
b
a
ϕ(t)s in nt d t
ε
2
d’où:
b
a
f(t)s in nt d t
ε
ce quisignifie que lim
n→∞
b
a
f (t)s in nt d t = 0.
Pour s’entraîner :ex. 8
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