Intégration surunsegment
Exercice résolu
LEMMEDELEBESGUE
Démontrerque :
lim
n→∞
b
a
f (t)s in nt dt = 0
1 pour une fonction fd eclasse C
1
sur [a, b],
2 pour une fonctionf en escalier sur [a, b],
3 pour une fonction fc ontinue par morceaux sur [a, b].
Conseils
Solution
Les méthodes de démonstration vont être
très différentes suivant les hypothèses imposées àlafonction f . L’intégrationpar
parties n’est possible que si f est de classe
C
1
.
1) Supposons f de classe C
1
sur [a, b]. On peut intégrer par parties:
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u
(t)=sin nt u(t) = −
1
n
cos nt
v(t) = f (t)
v
(t) = f
(t)
b
a
f (t)s in nt d t = −
1
n
f (t)cos nt
b
a
+
1
n
b
a
f
(t)c os nt d t
=
1
n
f (a)cos na − f (b)cos nb
+
b
a
f
(t)c os nt d t
Or :
| f (a)cos na − f (b)cos nb| | f (a)| + | f (b)|
et :
b
a
f
(t)c os nt d t
b
a
| f
(t)| d t
Cesdeux termes sont bornés, donc
b
a
f (t)s in nt d t tend vers 0quand
n tend vers +∞.
Ici, il faut utiliser une subdivision adaptée
àlafonction en escalier f .
2) Supposons f en escalier sur [a, b]. La fonction t → f (t)sin nt est
alorscontinue par morceaux sur [a, b]. Soit (x 0 , ··· ,x p )u ne subdivision
adaptéeà f :
∀i∈[[ 0 , p − 1]] ∀x ∈ ]x i , x i+1 [ f (x) = y i
b
a
f (t)s in nt d t =
p−1
i=0
y i
xi+1
xi
sin nt d t
=
1
n
p−1
i=0
y i (cos nx i −cos nx i+1 )
D’où :
b
a
f (t)s in nt d t
1
n
p−1
i=0
2 |y i |
Et,par conséquent :l im
n→∞
b
a
f (t)s in nt d t = 0
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