Intégration surunsegment
Théorème 9
Soit f unefonction àvaleurs complexes continue par morceaux sur le segment
[a, b];
[ a , b ]
f
[ a , b ]
|f|
Le module de l’intégrale est inférieur ou égal àl’intégrale du module.
Démonstration
Écrivons l’intégrale de f sousl af orme trigonométrique :
[a,b]
f = r e
iθ
.
Considérons la fonction g définie par : g = e
−iθ
f . On ap ar conséquent :
[a,b]
g = r ;c ette intégrale est réelle, donc :
[a,b]
Re g = r et
[a,b]
Im g = 0.
On saitm ajorer la valeur absolue de l’intégrale de la fonction réelle Re g :
[a,b]
Re g
[a,b]
|Re g|. Or |Re g| |g|, d’où : r
[a,b]
|g|. Comme
|g| = |f |, on abien montré que r
[a,b]
|f |, c’est-à-dire :
[a,b]
f
[a,b]
|f |
L’inégalité de la moyenner este valable pour des fonctions àv aleurs complexes
continues par morceaux sur [a, b]:
[ a , b ]
fg
sup
[a,b]
|f |
[a,b]
|g|
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour établir desp ropriétés (limites, continuité, dérivabilité) de fonctions définies par une intégrale que
l’on ne sait pas calculer,
on peut utiliser les propriétés générales de l’intégration:linéarité, croissance, additivité des intervalles (cf. exercices
3 à 7).
Pour calculer la limite d’une suite,
on peut parfois l’interpréterc omme une suite de sommes de Riemann d’une fonction sur un intervalle (cf.
Application 1 et exercice 10).
Pour calculer une valeurapprochée d’une intégrale,
on peut utiliser les sommes de Riemann.
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Théorème 9
Soit f unefonction àvaleurs complexes continue par morceaux sur le segment
[a, b];
[ a , b ]
f
[ a , b ]
|f|
Le module de l’intégrale est inférieur ou égal àl’intégrale du module.
Démonstration
Écrivons l’intégrale de f sousl af orme trigonométrique :
[a,b]
f = r e
iθ
.
Considérons la fonction g définie par : g = e
−iθ
f . On ap ar conséquent :
[a,b]
g = r ;c ette intégrale est réelle, donc :
[a,b]
Re g = r et
[a,b]
Im g = 0.
On saitm ajorer la valeur absolue de l’intégrale de la fonction réelle Re g :
[a,b]
Re g
[a,b]
|Re g|. Or |Re g| |g|, d’où : r
[a,b]
|g|. Comme
|g| = |f |, on abien montré que r
[a,b]
|f |, c’est-à-dire :
[a,b]
f
[a,b]
|f |
L’inégalité de la moyenner este valable pour des fonctions àv aleurs complexes
continues par morceaux sur [a, b]:
[ a , b ]
fg
sup
[a,b]
|f |
[a,b]
|g|
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Pour établir desp ropriétés (limites, continuité, dérivabilité) de fonctions définies par une intégrale que
l’on ne sait pas calculer,
on peut utiliser les propriétés générales de l’intégration:linéarité, croissance, additivité des intervalles (cf. exercices
3 à 7).
Pour calculer la limite d’une suite,
on peut parfois l’interpréterc omme une suite de sommes de Riemann d’une fonction sur un intervalle (cf.
Application 1 et exercice 10).
Pour calculer une valeurapprochée d’une intégrale,
on peut utiliser les sommes de Riemann.
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