Intégration surunsegment
COURS
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Or
n−1
k=0
(x − e
2ikπ
n )e st le polynôme unitaire de degré
n dontl es racines sont les racines n
ièmes
de l’unité:
c’est (x
n
− 1). Il en est de même de :
n−1
k=0
x − e
−
2ikπ
n
D’où :
S n =
2π
n
ln(x
n
− 1)
2
=
4π
n
ln |x
n
− 1|
• Si |x| > 1,
ln |x
n
− 1| = ln |x
n
| +ln|1−
1
x n |∼ln |x
n
|
au voisinagede+ ∞ .Dans ce cas, S n ∼ 4π ln |x|,
d’où I (x) = 4π ln |x|.
• Si |x| < 1, |x
n
− 1| tend vers 1q uand n tend
vers +∞. Dans ce cas, I (x) = 0.
6 Extensionaux fonctions àvaleurs
complexes
6.1 • Intégraled’une fonction àvaleurs complexes sur un
segment
Soit f unefonction d’une variable réelle àvaleurs complexes définie sur le segment
[a, b]. On peut lui associer les fonctions Re f et Im f , àvaleurs réelles, telles
que : f = Re f + i Im f .
Des propriétésdes limites des fonctions àvaleurs complexes, on déduit que f est
continue parmorceaux sur [a, b]s ietseulement si Re f et Im f le sont. On
définitdans ce cas l’intégrale de f sur [a, b]p ar :
[a,b]
f =
[a,b]
Re f + i
[a,b]
Im f
6.2 • Propriétés
Les propriétés de l’intégrale qui ne font pas référence àl ar elation d’ordre de R
restent vraies pour l’intégrale d’une fonction àvaleurs complexes, notamment :
• Linéarité :
∀(α, β) ∈ C
2
[a,b]
(αf + βg) = α
[a,b]
f + β
[a,b]
g
• Additivité des intervalles :si c∈]a,b[,
[ a , b ]
f =
[ a , c ]
f +
[ b , c ]
f
Attention : Une fonction àvaleurs complexes continue sur un segment n’atteint
pas nécessairement sa valeur moyenne. Par exemple, la fonction t
→ e
it
au ne
valeur moyennenulle sur [0, 2π], mais elle ne prend jamais la valeur 0.
La propriété de croissance n’a plus de sens pour une fonction àvaleurs complexes.
Cependant, le résultat suivantdemeure :
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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