COURS 17
Intégration surunsegment
Signalons seulementq ue la démonstration consiste ài nterpréter une somme de
Riemanncomme l’intégrale d’une fonction ϕ en escalier sur[ a , b ] ,et àmajorer
la différence |f − ϕ| sur[ a , b ] .
IMPORTANT
On peut aussi choisir pour somme de
Riemannlasomme :
S
n =
b − a
n
n
i=1
f
a + i
b − a
n
L’exercice 11 propose une démonstration dans le caso ù f est monotone sur
[a, b].
Ce théorème peut servir dans les deux sens :
• pour calculer une intégrale( ou une valeur approchée) àp artir des sommes de
Riemann ;
• pour trouverl al imite d’une suite, en l’interprétant comme une somme de
Riemann d’une certaine fonction.
APPLICATION 1
Limite d’unesuite interprétée comme une somme de Riemann
Calculer la limitedelasuite S n =
2n
p=n+1
1
p
.
On peut écrire :
S n =
n
i=1
1
n + i
=
1
n
n
i=1
1
1+
i
n
Sous cette forme, on reconnaît une somme de Riemann
de la fonction x
→
1
1+x
sur l’intervalle [0, 1], partagé en n intervalles de même longueur.Donc :
lim
n→∞
S n =
1
0
1
1+x
dx
=
ln(1 + x)
1
0
= ln 2
Pour s’entraîner:ex. 9et10
APPLICATION 2
Calcul d’uneintégrale par les sommes de Riemann
Calculer l’intégrale:
I(x)=
2 π
0
ln(x
2
− 2x cos t +1)dt
àl’aide de ses sommes de Riemann, pour :
x ∈ R\{−1, 1}.
On remarque que, pour x
∈ {−1, 1} :
x
2
− 2x cos t +1=(x−cos t)
2
+sin
2
t > 0.
La fonction t
→ ln(x
2
− 2x cos t +1)e st donc définie
et continue sur [0, 2π].
I (x)e st la limite de la suite :
S n =
2π
n
n−1
k=0
ln
x
2
− 2x cos
2kπ
n
+1
=
2π
n
n − 1
k= 0
ln
x − e
2ikπ
n
x−e
−
2 ikπ
n
=
2π
n
ln
n−1
k=0
x − e
2ikπ
n
n−1
k=0
x −e
−
2ikπ
n
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