Intégration surunsegment
COURS
17
Démonstration
Si la fonction f est nulle, l’inégalité est vérifiée, et c’est une égalité.
Supposons f non nulle;soit λ un réel.Posons :
P(λ) =
[a,b]
(λf + g)
2
= λ
2
[a,b]
f
2
+2λ
[ a , b ]
fg +
[a,b]
g
2
Comme
[a,b]
f
2
= 0, P estu np olynôme de degré 2; or pour tout réel λ :
P(λ) 0. P est un trinôme du second degré qui garde un signeconstant :son
discriminant est négatif :
Δ
=
[a,b]
fg
2
−
[a,b]
f
2
[a,b]
g
2
0
d’où l’inégalitécherchée.
Si f et g sont proportionnelles, soit f = 0e tnous avons déjà remarqué que
l’inégalité est une égalité, soit il existe un réel k telque g = kf ;d ans ce cas:
[ a , b ]
fg
2
=
[a,b]
f
2
[a,b]
g
2
= k
2
[a,b]
f
2
2
Réciproquement, si l’égalité est vérifiée, soit f = 0e telle est proportionnelle à
g, soitletrinôme P aundiscriminant nul, et donc une racine réelle λ 0 :
P(λ 0 ) =
[a,b]
(λ 0 f + g)
2
= 0
d’où l’on déduit, puisque λ 0 f + g est continue : λ 0 f + g = 0, soit g = −λ 0 f :
les fonctions f et g sont proportionnelles.
5 Sommes de Riemann
y
x
O
a +
b – a
n
b
b – a
n
a
.....
S n
Doc. 9 Sommes de Riemann.
Soit f une fonction continue parm orceaux sur [a, b]( a longueur àl ’aide de la subdivision : x i = a + i
b − a
n
. On appelle somme de
Riemann correspondant àcette subdivision la somme (Doc. 10) :
S n =
b − a
n
n−1
i=0
f
a + i
b − a
n
Nous admettrons le théorème suivant :
Théorème 8
La suite des sommes de Riemann d’une fonction f continue sur [a, b]c onverge
vers l’intégralede f sur [a, b]:
lim
n→∞
S n =
[a,b]
f
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