COURS 17
Intégration surunsegment
• Définiepositive ;pour tout x ∈ E :
ϕ(x, x) 0
ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0
Théorème 6
L’application de C(I )d ans R :
(f , g)
→
[a,b]
fg
est un produit scalaire sur C(I ).
Démonstration
• La bilinéarité découle de la linéarité de l’intégrale ;pour toutes fonctions f 1 , f 2 , g
continues sur [a, b]e ttous réels α 1 , α 2 :
[a,b]
(α 1 f 1 + α 2 f 2 )g = α 1
[a,b]
f 1 g + α 2
[a,b]
f 2 g
et
[a,b]
g(α 1 f 1 + α 2 f 2 ) = α 1
[a,b]
gf 1 + α 2
[a,b]
gf 2
• La symétrie estévidente :pour toutes fonctions f , g continues sur [a, b]:
[ a , b ]
fg =
[a,b]
gf
• L’application estdéfinie positive car pour toute fonction f continue sur [a, b]:
[ a , b ]
f
2
0
et
[a,b]
f
2
= 0 ⇒ f
2
= 0 ⇒ f = 0
d’après le théorème du paragraphe précédent.
Ce produit scalaire permet de mettre en œuvre de nombreuses méthodes issues
de la géométrie dans le champ des fonctions continues (orthogonalité, distance
euclidienne, projection orthogonale, etc.). Nous développerons ce point dans le
chapitre 25 : Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens.
4.4 • InégalitédeCauchy-Schwarz
Nousd émontrerons plus tard cette inégalité dans le cadre des espaces vectoriels
euclidiens. Restreignons-nous pour le moment au produits calaire défini dans le
paragraphe précédent.
Théorème 7
Soit f et g deux fonctions continues sur le segment [a, b].
[a,b]
fg
2
[a,b]
f
2
[a,b]
g
2
L’égalité estvérifiée si et seulement si les fonctions f et g sont proportionnelles.
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