Intégration surunsegment
COURS
17
bornes.Deplus :
inf
[a,b]
f f sup
[a,b]
f
⇒ (b − a)inf
[a,b]
f
[a,b]
f (b − a)sup
[a,b]
f
d’où:
inf
[a,b]
f μ sup
[a,b]
f
μ estcomprise entre les bornes de f ;d ’après le théorème des valeurs intermédiaires, f prend la valeur μ sur [a, b]:
∃ c∈] a , b [ μ=f( c )c ’est-à-dire
[a,b]
f = (b − a)f (c)
Remarque :Cerésultat peut tomber en défaut pour une fonction noncontinue :par
exemple, la fonction Partie entière apour valeur moyenne
1
2
sur [0, 2], mais cette
valeur n’estpas atteinte.
4.2 • Fonction continue positive d’intégralenulle
Théorème 5
Soit f unefonction continue positive sur le segment [a, b]. L’intégrale de f
sur [a, b]e st nulle si et seulement si f est nulle sur [a, b].
Démonstration
Si f est nulle, son intégrale est nulle.
Réciproquement, supposonsque
[a,b]
f = 0e tque f ne soitpas partout nulle
sur [a, b], c’est-à-dire qu’il existe c ∈ [a, b]t el que f (c) > 0. Appliquons la
définition de la continuité de f en c, avec ε =
f (c)
2
:
∃α > 0 ∀x ∈ [a, b] |x − c| α ⇒|f(x)−f(c)|ε
Si l’on pose β = min(α,
b − a
2
), l’un au moinsdes segments [c − β, c], [c, c + β]
est inclus dans [a, b]; or l’intégrale de f sur ce segment est supérieureouégale à
βε, donc strictement positive. Afortiori,l’intégrale de f sur [a, b]e st strictement
positive, en contradiction avec l’hypothèse. Donc f est nulle sur le segment[ a ,b ]
tout entier.
Pour s’entraîner :ex. 7
4.3 • Produit scalaire sur C(I)
IMPORTANT
Les paragraphes 4.3 et 4.4n e
sont pas au programme des étudiants
de PTSI qui n’ont pas choisi l’option
PSI.
Nous avonsétudié la notion de produit scalaire dans l’espace vectoriel des vecteurs
du plan ou de l’espace de dimension 3. Nous généraliserons cette notion dans
le chapitre 25 : Produits calaire, espaces vectoriels euclidiens :o na ppelle produit
scalaire sur un espace vectoriel réel E touteforme bilinéaire symétrique définie
positive, c’est-à-dire toute application ϕ de E×E dans R :
• Bilinéaire ;c hacune des applications x
→ ϕ(x, y)( pour y fixé)e t
y → ϕ(x, y)( pour x fixé)est linéaire.
• Symétrique ;pour tout (x, y) ∈ E×E, ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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bornes.Deplus :
inf
[a,b]
f f sup
[a,b]
f
⇒ (b − a)inf
[a,b]
f
[a,b]
f (b − a)sup
[a,b]
f
d’où:
inf
[a,b]
f μ sup
[a,b]
f
μ estcomprise entre les bornes de f ;d ’après le théorème des valeurs intermédiaires, f prend la valeur μ sur [a, b]:
∃ c∈] a , b [ μ=f( c )c ’est-à-dire
[a,b]
f = (b − a)f (c)
Remarque :Cerésultat peut tomber en défaut pour une fonction noncontinue :par
exemple, la fonction Partie entière apour valeur moyenne
1
2
sur [0, 2], mais cette
valeur n’estpas atteinte.
4.2 • Fonction continue positive d’intégralenulle
Théorème 5
Soit f unefonction continue positive sur le segment [a, b]. L’intégrale de f
sur [a, b]e st nulle si et seulement si f est nulle sur [a, b].
Démonstration
Si f est nulle, son intégrale est nulle.
Réciproquement, supposonsque
[a,b]
f = 0e tque f ne soitpas partout nulle
sur [a, b], c’est-à-dire qu’il existe c ∈ [a, b]t el que f (c) > 0. Appliquons la
définition de la continuité de f en c, avec ε =
f (c)
2
:
∃α > 0 ∀x ∈ [a, b] |x − c| α ⇒|f(x)−f(c)|ε
Si l’on pose β = min(α,
b − a
2
), l’un au moinsdes segments [c − β, c], [c, c + β]
est inclus dans [a, b]; or l’intégrale de f sur ce segment est supérieureouégale à
βε, donc strictement positive. Afortiori,l’intégrale de f sur [a, b]e st strictement
positive, en contradiction avec l’hypothèse. Donc f est nulle sur le segment[ a ,b ]
tout entier.
Pour s’entraîner :ex. 7
4.3 • Produit scalaire sur C(I)
IMPORTANT
Les paragraphes 4.3 et 4.4n e
sont pas au programme des étudiants
de PTSI qui n’ont pas choisi l’option
PSI.
Nous avonsétudié la notion de produit scalaire dans l’espace vectoriel des vecteurs
du plan ou de l’espace de dimension 3. Nous généraliserons cette notion dans
le chapitre 25 : Produits calaire, espaces vectoriels euclidiens :o na ppelle produit
scalaire sur un espace vectoriel réel E touteforme bilinéaire symétrique définie
positive, c’est-à-dire toute application ϕ de E×E dans R :
• Bilinéaire ;c hacune des applications x
→ ϕ(x, y)( pour y fixé)e t
y → ϕ(x, y)( pour x fixé)est linéaire.
• Symétrique ;pour tout (x, y) ∈ E×E, ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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