COURS 17
Intégration surunsegment
y
x
a
O
c
b
μ
Doc. 8 Valeur moyenne d’une
fonction.
Le scalaire μ =
1
b − a
[a,b]
f est appelé valeur moyenne de f sur [a, b]. C’est
la valeurd ’une fonction constante qui al am ême intégrale que f sur [a, b]
(Doc. 9).
Le résultat précédentindique que |μ| sup
[a,b]
|f |.
3.5 • Extension
Ici,onnesuppose plus nécessairement que a < b. Soit f une fonction continue
par morceaux sur un segment I . Pour tout (a, b) ∈ I
2
, on définitl er éel
b
a
f (x)dx par :
si a < b
b
a
f (x)dx =
[a,b]
f
si a = b
b
a
f (x)dx = 0
si a > b
b
a
f (x)dx = −
[b,a]
f
Remarques :
Le nom donné àl av ariable ne joue aucun rôle. Il est équivalent d’écrire
b
a
f (x)dxo u
b
a
f( t )dt. On dit qu’il s’agit d’une variable muette.
Il faut bien noterque si a > b,
b
a
f (x)dxn ’est pas l’intégrale de fs ur un
segment. En particulier,elle n’a plus la propriété de croissance énoncée ci-dessus.
Dans la pratique, si l’on sait que a > b, on ai ntérêt àé crire −
a
b
f (x)dx
plutôt que
b
a
f (x)dx.
Quel que soit l’ordre des réels a, b, ca ppartenant àI ,on a:
b
a
f(x)dx =
c
a
f (x)dx +
b
c
f (x)dx
C’est la relation de Chasles.
Pour s’entraîner :ex. 4et5
4 Cas desfonctions continues
4.1 • Une fonction continue atteint sa valeur moyenne
Soit f unefonction continue sur le segment [a, b], et μ =
1
b − a
[a,b]
f
sa valeur moyenne sur [a, b]. On sait que f estb ornée, et qu’elle atteint ses
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