Intégration surunsegment
COURS
17
On sait que:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
[ a , c ]
ϕ
[ a , c ]
f
[ a , c ]
ψ
[ c , b ]
ϕ
[ c , b ]
f
[ c , b ]
ψ
d’où :
[a,c]
ϕ +
[c,b]
ϕ
[a,c]
f +
[c,b]
f
[a,c]
ψ +
[c,b]
ψ
et, d’aprèsles propriétés de l’intégrale des fonctions en escalier :
[a,c]
ϕ +
[c,b]
ϕ =
[a,b]
ϕ
;
[a,c]
ψ +
[c,b]
ψ =
[a,b]
ψ
On adonc :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ϕ f ψ
[a,b]
ϕ
[a,c]
f +
[b,c]
f
[a,b]
ψ
[a,b]
(ψ − ϕ) ε
ce qui prouve,d’après le théorème de caractérisation de l’intégrale, que :
[a,b]
f =
[a,c]
f +
[c,b]
f
3.4 • Inégalité de la moyenne
Théorème 4
Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur le segment [a, b] .
[a,b]
fg
sup
[a,b]
|f |
[a,b]
|g|
Démonstration
On sait que :
[a,b]
fg
[ a , b ]
| fg |
| f|étant continue par morceaux sur [a, b], elle est bornée sur [a, b]:
sup
[a,b]
|f | existe.Onaalors :
∀x ∈ [a, b] |f (x)g(x)| sup
[a,b]
|f || g ( x ) |
On obtient l’inégalité cherchée en intégrant sur [a, b].
En particulier en prenant g = 1, on obtient:
[ a , b ]
f
(b−a)s up
[a,b]
|f |
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