COURS 17
Intégration surunsegment
ce qui prouve, d’après le théorème de caractérisation de l’intégrale, que :
[a,b]
αf = α
[a,b]
f
• Si α ∈ R − , la démonstrationest la même en échangeant les rôles des fonctions
αϕ et αψ.
• En définitive, on peut conclure :
∀(α, β) ∈ R
2
[a,b]
(αf + βg) = α
[a,b]
f + β
[a,b]
g
L’applicationq ui àu ne fonction continue par morceaux sur [a, b]f ait correspondre son intégrale est une forme linéaire.
3.2 • Croissance
Soit f une fonction continue par morceaux positive sur [a, b]. La fonction nulle
sur [a, b]a ppartient à e(f ); son intégrale est donc inférieure ou égale àl’intégrale
de f , qui est par conséquent positive :
f 0 =⇒
[a,b]
f 0
Attention:Comme une fonction en escalier, une fonction continue par morceaux
positive peut avoir une intégrale nulle sur [a, b]s ans que f soit nulle sur tout ce
segment.
Plus généralement,soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b]
telles que f g. La fonction g − f est positive sur [a, b], son intégrale est
donc positive, c’est-à-dire:
f g = ⇒
[ a , b ]
f
[ a , b ]
g
L’application qui àu ne fonction continue par morceaux sur [a, b]f ait correspondre son intégrale est croissante.
En particulier, de −|f | f |f | , on déduit :
[a,b]
f
[a,b]
|f |
La valeur absolued ’une intégrale est inférieure ou égale àl ’intégrale de la valeur
absolue.
Pours’entraîner :ex. 3
3.3 • Additivité des intervalles
Soit f unefonction continue par morceaux sur [a, b]e tc∈] a , b [ .Pour tout
ε > 0, il existe ϕ ∈ e(f )e tψ∈E ( f)t elles que :
[a,b]
ψ −
[a,b]
ϕ ε
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