Intégration surunsegment
COURS
17
Démonstration
Supposons que I =
[a,b]
f et posons ε =
1
2
I −
[a,b]
f
.
Les fonctions en escalier ϕ et ψ correspondantes vérifient :
[a,b]
ϕ
[a,b]
f
[a,b]
ψ ,
[a,b]
ϕ I
[a,b]
ψ
d’où :
I −
[a,b]
f
[a,b]
(ψ − ϕ) ε
c’est-à-dire 2ε ε, ce qui est absurde. Donc I =
[a,b]
f .
Pours’entraîner :ex. 6
3 Propriétésdel’intégrale
Elles se déduisent de celles de l’intégrale d’une fonction en escalier.
3.1 • Linéarité
• Soit f 1 et f 2 deux fonctions continues par morceaux sur [a, b].
Pour tout ε > 0, il existe ϕ 1 ∈ e(f 1 )e tψ 1 ∈E ( f 1 )a insi que ϕ 2 ∈ e(f 2 )e t
ψ 2 ∈E ( f 2 )t elles que :
[a,b]
(ψ 1 − ϕ 1 ) ε et
[a,b]
(ψ 2 − ϕ 2 ) ε
On adonc : ⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ϕ 1 + ϕ 2 f 1 + f 2 ψ 1 + ψ 2
[a,b]
(ϕ 1 + ϕ 2 )
[a,b]
f 1 +
[a,b]
f 2
[a,b]
(ψ 1 + ψ 2 )
[a,b]
(ψ 1 + ψ 2 ) − (ϕ 1 + ϕ 2 ) 2ε
ce qui prouve,d’après le théorème de caractérisation de l’intégrale, que :
[a,b]
(f 1 + f 2 ) =
[a,b]
f 1 +
[a,b]
f 2
• De même, soit f une fonction continue parmorceaux sur [a, b]e t α∈R + .
Pour tout ε > 0, il existe ϕ ∈ e(αf )e tψ∈E ( α f)t elles que
[a,b]
(ψ − ϕ) ε.
On a:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
αϕ αf αψ
[a,b]
αϕ α
[a,b]
f
[a,b]
αψ
[a,b]
(αψ − αϕ) αε
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