COURS 17
Intégration surunsegment
Montrons que ces bornes sontégales :
Théorème 2
Si f est une fonction continue par morceaux sur [a, b], la borne supérieuredes
intégrales sur [a, b]d es fonctions en escalier qui minorent f estégale àlaborne
inférieure des intégrales sur [a, b]d es fonctions en escalier qui majorent f .
Démonstration
Supposons que sup
ϕ∈e(f )
[a,b]
ϕ < inf
ψ∈E (f )
[a,b]
ψ, et posons :
ε = inf
ψ∈E (f )
[a,b]
ψ − sup
ϕ∈e(f )
[a,b]
ϕ
Nous avons vu quepour tout ε > 0, il existe des fonctions ϕ et ψ en escalier
sur [a, b]t elles que
∀x ∈ [a, b] ϕ(x) f (x) ψ(x)e tψ ( x ) − ϕ ( x )
ε
2(b − a)
On en déduit que ϕ ∈ e(f ),ψ∈E ( f )e t
[ a , b ]
ψ−
[ a , b ]
ϕ
ε
2
,ce qui
contredit la définitionde ε . Donc :
sup
ϕ∈e(f )
[a,b]
ϕ = inf
ψ∈E (f )
[a,b]
ψ
La valeur communedeces deux bornes estappelée intégrale de f sur [a, b].
[a,b]
f = sup
ϕ∈e(f )
[a,b]
ϕ = inf
ψ∈E (f )
[a,b]
ψ
y
x
O
+
-
a
b
Doc. 7 Signe de l’intégrale.
Remarque :Nous admettrons que
[a,b]
fr eprésente l’aire algébrique de la région
du plan limitée parl’axe Ox, la courbe représentative de fe tles droites d’équation
x = a, x = b, en affectant d’un signe + les parties situées au dessus de l’axe Ox et
d’un signe − les parties situéesendessous (Doc. 8).
2.3 • Caractérisation de l’intégrale
Théorème 3
Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b], et I un réel. Si pour
tout ε > 0i lexiste deux fonctions en escalier sur [a, b] ϕ et ψ telles que :
ϕ f ψ ,
[a,b]
ϕ I
[a,b]
ψ et
[a,b]
(ψ − ϕ) ε
alors I =
[a,b]
f .
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