Intégration surunsegment
COURS
17
• Croissance. Soit f unef onction en escalier positive sur [a, b]e t
σ = ( x i ) i ∈ [[ 0 , n ]] une subdivision adaptée à f , avec :
∀i ∈ [[ 0 , n − 1]] ∀x ∈ ]x i , x i+1 [ f (x) = y i
Comme f est positive,pour tout i ∈ [[ 0 , n − 1]], y i 0, donc l’intégrale
de f est positive.
f 0 =⇒
[a,b]
f 0
y
a
x
b
Doc. 5 Fonction positive d’intégrale
nulle.
Attention : Contrairementa ux fonctions continues, une fonction en escalier
positive peut avoir une intégrale nulle sur [a, b]s ans que f soit nulle sur tout
ce segment(Doc. 6).
Plusg énéralement, soit f et g deux fonctions en escalier sur [a, b]t elles
que f g. La fonction g − f est positive sur [a, b], son intégrale est donc
positive, c’est-à-dire :
f g =⇒
[a,b]
f
[a,b]
g
L’applicationq ui àu ne fonction en escalier sur [a, b]f ait correspondre son
intégrale est croissante.
• Additivité desi ntervalles. Soit f une fonction en escalier sur [a, b]e t
c∈] a , b [ .Choisissons une subdivision σ = (x i ) i∈[[ 0 , n ]] adaptée à f et
contenant c (∃p ∈ [[ 1 , n − 1]] , c = x p ), telle que
∀x ∈ ]x i , x i+1 [ f (x) = y i .
f est encore en escalier sur [a, c]e tsur [c, b]e t:
[ a , b ]
f =
p − 1
i = 0
(x i +1 − x i ) y i +
n−1
i=p
(x i+1 − x i ) y i =
[a,c]
f +
[c,b]
f
2.2 • Intégrale d’une fonction continue par morceaux
Doc. 6 Intégrale d’une fonction
continue par morceaux.
Soit f une fonction continuep ar morceaux sur [a, b], et σ une subdivision
adaptée. f estbornée sur chaque intervalle de la subdivision σ, donc bornée sur
[a, b].
∃(m, M ) ∈ R
2
∀x ∈ [a, b] m f (x) M
Désignons par e(f )l ’ensemble des fonctions en escalier inférieures à f sur [a, b].
Cet ensemble est non vide, puisqu’il contient la fonction constante m. L’ensemble
des intégraless ur [a, b]d es éléments de e(f )e st une partie de R non vide et
majorée par M (b − a). Il possède donc une borne supérieure (Doc. 7).
De même l’ensemble E(f )d es fonctions en escalier supérieures à f sur [a, b]e st
non vide, puisqu’il contientlafonction constante M . L’ensembledes intégrales
sur[ a , b ]d es éléments de E(f )e st une partie de R non vide et minorée par
m(b − a). Il possède donc une borne inférieure.
∀(ϕ, ψ) ∈ e(f ) × E(f ) ϕ ψ donc
[a,b]
ϕ
[a,b]
ψ
d’où :
sup
ϕ∈e(f )
[a,b]
ϕ inf
ψ∈E (f )
[a,b]
ψ
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
311
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• Croissance. Soit f unef onction en escalier positive sur [a, b]e t
σ = ( x i ) i ∈ [[ 0 , n ]] une subdivision adaptée à f , avec :
∀i ∈ [[ 0 , n − 1]] ∀x ∈ ]x i , x i+1 [ f (x) = y i
Comme f est positive,pour tout i ∈ [[ 0 , n − 1]], y i 0, donc l’intégrale
de f est positive.
f 0 =⇒
[a,b]
f 0
y
a
x
b
Doc. 5 Fonction positive d’intégrale
nulle.
Attention : Contrairementa ux fonctions continues, une fonction en escalier
positive peut avoir une intégrale nulle sur [a, b]s ans que f soit nulle sur tout
ce segment(Doc. 6).
Plusg énéralement, soit f et g deux fonctions en escalier sur [a, b]t elles
que f g. La fonction g − f est positive sur [a, b], son intégrale est donc
positive, c’est-à-dire :
f g =⇒
[a,b]
f
[a,b]
g
L’applicationq ui àu ne fonction en escalier sur [a, b]f ait correspondre son
intégrale est croissante.
• Additivité desi ntervalles. Soit f une fonction en escalier sur [a, b]e t
c∈] a , b [ .Choisissons une subdivision σ = (x i ) i∈[[ 0 , n ]] adaptée à f et
contenant c (∃p ∈ [[ 1 , n − 1]] , c = x p ), telle que
∀x ∈ ]x i , x i+1 [ f (x) = y i .
f est encore en escalier sur [a, c]e tsur [c, b]e t:
[ a , b ]
f =
p − 1
i = 0
(x i +1 − x i ) y i +
n−1
i=p
(x i+1 − x i ) y i =
[a,c]
f +
[c,b]
f
2.2 • Intégrale d’une fonction continue par morceaux
Doc. 6 Intégrale d’une fonction
continue par morceaux.
Soit f une fonction continuep ar morceaux sur [a, b], et σ une subdivision
adaptée. f estbornée sur chaque intervalle de la subdivision σ, donc bornée sur
[a, b].
∃(m, M ) ∈ R
2
∀x ∈ [a, b] m f (x) M
Désignons par e(f )l ’ensemble des fonctions en escalier inférieures à f sur [a, b].
Cet ensemble est non vide, puisqu’il contient la fonction constante m. L’ensemble
des intégraless ur [a, b]d es éléments de e(f )e st une partie de R non vide et
majorée par M (b − a). Il possède donc une borne supérieure (Doc. 7).
De même l’ensemble E(f )d es fonctions en escalier supérieures à f sur [a, b]e st
non vide, puisqu’il contientlafonction constante M . L’ensembledes intégrales
sur[ a , b ]d es éléments de E(f )e st une partie de R non vide et minorée par
m(b − a). Il possède donc une borne inférieure.
∀(ϕ, ψ) ∈ e(f ) × E(f ) ϕ ψ donc
[a,b]
ϕ
[a,b]
ψ
d’où :
sup
ϕ∈e(f )
[a,b]
ϕ inf
ψ∈E (f )
[a,b]
ψ
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