COURS 17
Intégration surunsegment
1.3 • Approximationd’une fonction continue
par morceaux par des fonctions en escalier
Nous admettrons quetoute fonction continue par morceaux sur un segment peut
être approchée d’aussiprès que l’on veut par des fonctions en escalier :
Théorème 1
Soit f une fonction continue parmorceaux sur [a, b].
Pour tout ε > 0, il existe une fonction φ en escalier sur[ a , b ]t elle que :
∀x ∈ [a, b] |φ(x) − f (x)| ε
2 Intégration sur un segment
2.1 • Intégrale d’une fonction en escalier
Soit f unef onction en escalier sur [a, b]e tσ=( x i ) i ∈ [[ 0 , n ]] une subdivision
adaptéeà f, avec
∀i ∈ [[ 0 , n − 1]] ∀x ∈ [x i , x i+1 ] f (x) = y i .
On appelle intégrale de f sur [a, b]l asomme :
[a,b]
f =
n−1
i=0
(x i+1 − x i ) y i
y
–
++
++
x
a
b
Doc. 4 Intégraled’une fonction en
escalier.
IMPORTANT
Il est clair que cette définition est indépendante de la subdivision adaptée
à f choisie. Elle est également indépendante des valeurs particulières de
f aux points de subdivision. Il en résulte qu’on peut changer la valeur de
f en un nombre fini de points sans
changerson intégrale.
Géométriquement, (x i+1 − x i ) y i est l’aire du rectangle limité parl’axe (Ox), les
droites d’équation x = x i , x = x i+1 et la droite d’équation y = y i , affectée du
signe +s icerectangle estaudessus de (Ox)e tdusigne − dans le cas contraire
(Doc. 5).
Propriétés
• Linéarité. Soit f et g deux fonctions en escalier sur [a, b]e t
σ = ( x i ) i ∈ [[ 0 , n ]] une subdivision adaptée àlafois à f et à g, avec :
∀i ∈ [[ 0 , n − 1]] ∀x ∈ ]x i , x i+1 [ f (x) = y i , g(x) = z i
Pour tous réels α et β, αf + βg est en escalier et :
[a,b]
(αf + βg) =
n−1
i=0
(x i+1 − x i )(αy i +βz i )
= α
n−1
i=0
(x i+1 − x i ) y i + β
n−1
i=0
(x i+1 − x i ) z i = α
[a,b]
f + β
[a,b]
g
L’applicationq ui àu ne fonction en escalier sur [a, b]f ait correspondre son
intégraleest donc une forme linéaire.
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