Intégration surunsegment
COURS
17
1 Approximation par des fonctions
en escalier
Remarque :Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, [a, b] désignera un segment non videetnon réduit àunpoint, c’est-à-dire tel que a < b.
1.1 • Fonctions en escalier surunsegment
a = x 0
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5 x 6 = b
y
x
Doc. 1 Fonction ennescalier.
Soit f unefonction àvaleurs réelles définie sur le segment [a, b]. On dit que f
est en escalier s’il existe une partition de [a, b]e nunnombre fini d’intervalles
sur chacundesquels f est constante.
Il existe alorsune suite finie strictement croissante σ = (x i ) i∈[[ 0 , n ]] :
a = x 0 < x 1 < ··· < x n = b
telle que f soitconstante sur chaque intervalle ouvert ]x i , x i+1 [( les valeurs prises
par f auxpoints x i n’ont pas d’importance) (Doc. 1).
ax = 0
ax ’
= 0
x’ 1
x 1
x’ 2
x 2 x’ 3
xb 3 =
x’ b
4 =
y
x
Doc. 2 Deux fonctions en escalier.
Une telle suiteest appelée subdivision de [a, b] adaptée àlafonction en escalier
f . Elle n’est pas unique :certains points de subdivision peuvent être retirés sans
nuire àladéfinition, et il est toujours possible d’ajouter arbitrairement des points
de subdivision. Toute subdivision contenant une subdivision adaptéeà f est
adaptéeà f.
Étant donné deux fonctions en escalier f et g sur [a, b], il existe une subdivision
adaptée simultanément aux deux fonctions :ilsuffit de réunir deux subdivisions
adaptées respectivement àchacune d’entre elles (Doc. 2).
On en déduit que l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b]e st stable par combinaison linéaire et par multiplication. Comme il contient la fonction constante
unité, c’est un sous-espacevectoriel et un sous-anneau de l’ensemble des fonctions
de [a, b]d ans R.
Il est clair égalementq ue si f est en escalier sur [a, b], alors |f | est aussi en
escalier sur [a, b].
1.2 • Fonctions continues par morceaux sur un segment
a = x 0 x 1 x 2
x 3
x 4 = b
y
x
Doc. 3 Fonction continue par
morceaux.
Soit f unefonction àvaleurs réelles définie sur [a, b]. On dit que f est continue
par morceaux si elle n’a qu’un nombre fini de points de discontinuité en chacun
desquels elle présente une limite àdroite et une limite àgauche finies.
Autrementd it, il existe une subdivision σ = (x i ) i∈[[ 0 , n ]] de [a, b]t elle que
la restriction de f àc haque intervalle ouvert ]x i , x i+1 [s oit continue sur cet
intervalle et prolongeable par continuité àl ’intervalle fermé [x i , x i+1 ]. Unet elle
subdivisionest dite adaptée à f (Doc. 3).
Comme pourl es fonctions en escalier, on montre facilement que l’ensemble des
fonctions continues par morceauxs ur [a, b]e st un sous-espace vectoriel et un
sous-anneau de l’ensemble des fonctions de [a, b]d ans R.
Pour s’entraîner:ex. 2
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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1 Approximation par des fonctions
en escalier
Remarque :Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, [a, b] désignera un segment non videetnon réduit àunpoint, c’est-à-dire tel que a < b.
1.1 • Fonctions en escalier surunsegment
a = x 0
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5 x 6 = b
y
x
Doc. 1 Fonction ennescalier.
Soit f unefonction àvaleurs réelles définie sur le segment [a, b]. On dit que f
est en escalier s’il existe une partition de [a, b]e nunnombre fini d’intervalles
sur chacundesquels f est constante.
Il existe alorsune suite finie strictement croissante σ = (x i ) i∈[[ 0 , n ]] :
a = x 0 < x 1 < ··· < x n = b
telle que f soitconstante sur chaque intervalle ouvert ]x i , x i+1 [( les valeurs prises
par f auxpoints x i n’ont pas d’importance) (Doc. 1).
ax = 0
ax ’
= 0
x’ 1
x 1
x’ 2
x 2 x’ 3
xb 3 =
x’ b
4 =
y
x
Doc. 2 Deux fonctions en escalier.
Une telle suiteest appelée subdivision de [a, b] adaptée àlafonction en escalier
f . Elle n’est pas unique :certains points de subdivision peuvent être retirés sans
nuire àladéfinition, et il est toujours possible d’ajouter arbitrairement des points
de subdivision. Toute subdivision contenant une subdivision adaptéeà f est
adaptéeà f.
Étant donné deux fonctions en escalier f et g sur [a, b], il existe une subdivision
adaptée simultanément aux deux fonctions :ilsuffit de réunir deux subdivisions
adaptées respectivement àchacune d’entre elles (Doc. 2).
On en déduit que l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b]e st stable par combinaison linéaire et par multiplication. Comme il contient la fonction constante
unité, c’est un sous-espacevectoriel et un sous-anneau de l’ensemble des fonctions
de [a, b]d ans R.
Il est clair égalementq ue si f est en escalier sur [a, b], alors |f | est aussi en
escalier sur [a, b].
1.2 • Fonctions continues par morceaux sur un segment
a = x 0 x 1 x 2
x 3
x 4 = b
y
x
Doc. 3 Fonction continue par
morceaux.
Soit f unefonction àvaleurs réelles définie sur [a, b]. On dit que f est continue
par morceaux si elle n’a qu’un nombre fini de points de discontinuité en chacun
desquels elle présente une limite àdroite et une limite àgauche finies.
Autrementd it, il existe une subdivision σ = (x i ) i∈[[ 0 , n ]] de [a, b]t elle que
la restriction de f àc haque intervalle ouvert ]x i , x i+1 [s oit continue sur cet
intervalle et prolongeable par continuité àl ’intervalle fermé [x i , x i+1 ]. Unet elle
subdivisionest dite adaptée à f (Doc. 3).
Comme pourl es fonctions en escalier, on montre facilement que l’ensemble des
fonctions continues par morceauxs ur [a, b]e st un sous-espace vectoriel et un
sous-anneau de l’ensemble des fonctions de [a, b]d ans R.
Pour s’entraîner:ex. 2
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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