Dérivation des fonctions d’une variable réelle
EXERCICES
16
7 Calculer la dérivée n-ième des fonctions suivantes:
a) f (x) =
1
1 − x
;
b) f (x) =
1
1+x
;
c) f (x) =
1
1 − x 2 ;
d) f (x) = cos
3
x ;
e) f (x) = e
x
sin x ;
f) f (x) = x
2
(1 + x)
n
.
8 Étudierles variations des fonctions suivantes et tracer
leurs courbes représentatives :
a) f (x) =
1+
1
x
x
;
b) f (x) =
ln |2x +1|
ln |3x +1|
.
Accroissements finis
9 Majorerl ’erreur commise dans les approximations
suivantes :
a)
√ 10001 ≈ 100 ; b)
1
0, 999 2 ≈ 1; c) cos 1 ≈
1
2
.
10 Constante d’Euler
1) Démontrer que :
∀k ∈ N
∗
1
k +1
ln
k +1
k
1
k
2) En déduire un encadrement de la suite :
S n =
n
k=1
1
k
− ln n.
3) Démontrer que la suite (S n )c onverge.
11 Soit f une fonction continue sur [0, +∞[, dérivable
sur ]0, +∞[, telleq ue f (0) = 0e tq ue f
soit croissante sur] 0 , + ∞ [ .Démontrer que la fonction g définie
sur ]0, +∞[p ar g(x) =
f (x)
x
est croissante.
12
∗
Règle de L’Hôpital
1) Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b]e t
dérivables sur ]a, b[.
Démontrer que :
∃c ∈ ]a, b[ f
(c)
g(b) − g(a)
= g
(c)
f (b) − f (a)
2) En déduire la règle de L’Hôpital (mathématicien français
du XVII
e
siècle) :s if et g sont deux fonctions continues
sur V = ]x 0 − α, x 0 + α[e tdérivables sur V \{x 0 }, telles
que f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0, et ∀x ∈ V \{x 0 } g
(x)
= 0;
montrer que si la fonction
f
g admet une limite l en x 0 ,
alors la fonction
f
g
admetaussi l pour limite en x 0 , soit :
lim
x→x0
f
(x)
g (x)
= l ⇒ lim
x→x0
f (x)
g(x)
= l
3) Appliquerc ette règle pour déterminer les limites suivantes :
a) lim
x→0
x − sin x
x 3
;
b) lim
x→0
ln(1 + x) − x
x 2
.
4) La règle de L’Hôpital admet-elle une réciproque ?
Fonctionsconvexes
13 Soit f unefonction convexe majorée sur R.Démontrer que f est constante.
14 1) Montrerque la fonction (x
→ − ln x)e st convexe.
2) En déduire l’inégalité :
∀(x 1 ,...,x n ) ∈ R
∗n
+
n
√
x 1 ...x n
x 1 +···+x n
n
(on pourra utiliser l’inégalité de Jensen, cf. Application 5).
3) Application :Démontrer les inégalités :
∀(a, b, c) ∈ R
3
+
a
3
+ b
3
+ c
3
3abc et (a + b + c)
3
27abc
∀n ∈ N
∗
n
√ n!
n +1
2
Fonctions dérivables de R dans C
15 Soit f unefonction dérivable de R dans C.
1) Montrer que la fonction f estd érivable et calculer sa
dérivée.
2) Montrerque la fonction | f | est dérivable en tout point
où elle ne s’annule pas et calculer sa dérivée.
16 a et b étantd eux nombres complexes, calculer la
dérivéedel’application
R → C
t
→ (at + b)
n
où n ∈ Z
17 Soit f la fonction définiepar :
t
= 0 f (t) = t
2
e
i/t
f (0) = 0
Montrerq ue f est dérivable sur R,m ais que sa dérivée
n’est pas continue en 0.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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7 Calculer la dérivée n-ième des fonctions suivantes:
a) f (x) =
1
1 − x
;
b) f (x) =
1
1+x
;
c) f (x) =
1
1 − x 2 ;
d) f (x) = cos
3
x ;
e) f (x) = e
x
sin x ;
f) f (x) = x
2
(1 + x)
n
.
8 Étudierles variations des fonctions suivantes et tracer
leurs courbes représentatives :
a) f (x) =
1+
1
x
x
;
b) f (x) =
ln |2x +1|
ln |3x +1|
.
Accroissements finis
9 Majorerl ’erreur commise dans les approximations
suivantes :
a)
√ 10001 ≈ 100 ; b)
1
0, 999 2 ≈ 1; c) cos 1 ≈
1
2
.
10 Constante d’Euler
1) Démontrer que :
∀k ∈ N
∗
1
k +1
ln
k +1
k
1
k
2) En déduire un encadrement de la suite :
S n =
n
k=1
1
k
− ln n.
3) Démontrer que la suite (S n )c onverge.
11 Soit f une fonction continue sur [0, +∞[, dérivable
sur ]0, +∞[, telleq ue f (0) = 0e tq ue f
soit croissante sur] 0 , + ∞ [ .Démontrer que la fonction g définie
sur ]0, +∞[p ar g(x) =
f (x)
x
est croissante.
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∗
Règle de L’Hôpital
1) Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b]e t
dérivables sur ]a, b[.
Démontrer que :
∃c ∈ ]a, b[ f
(c)
g(b) − g(a)
= g
(c)
f (b) − f (a)
2) En déduire la règle de L’Hôpital (mathématicien français
du XVII
e
siècle) :s if et g sont deux fonctions continues
sur V = ]x 0 − α, x 0 + α[e tdérivables sur V \{x 0 }, telles
que f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0, et ∀x ∈ V \{x 0 } g
(x)
= 0;
montrer que si la fonction
f
g admet une limite l en x 0 ,
alors la fonction
f
g
admetaussi l pour limite en x 0 , soit :
lim
x→x0
f
(x)
g (x)
= l ⇒ lim
x→x0
f (x)
g(x)
= l
3) Appliquerc ette règle pour déterminer les limites suivantes :
a) lim
x→0
x − sin x
x 3
;
b) lim
x→0
ln(1 + x) − x
x 2
.
4) La règle de L’Hôpital admet-elle une réciproque ?
Fonctionsconvexes
13 Soit f unefonction convexe majorée sur R.Démontrer que f est constante.
14 1) Montrerque la fonction (x
→ − ln x)e st convexe.
2) En déduire l’inégalité :
∀(x 1 ,...,x n ) ∈ R
∗n
+
n
√
x 1 ...x n
x 1 +···+x n
n
(on pourra utiliser l’inégalité de Jensen, cf. Application 5).
3) Application :Démontrer les inégalités :
∀(a, b, c) ∈ R
3
+
a
3
+ b
3
+ c
3
3abc et (a + b + c)
3
27abc
∀n ∈ N
∗
n
√ n!
n +1
2
Fonctions dérivables de R dans C
15 Soit f unefonction dérivable de R dans C.
1) Montrer que la fonction f estd érivable et calculer sa
dérivée.
2) Montrerque la fonction | f | est dérivable en tout point
où elle ne s’annule pas et calculer sa dérivée.
16 a et b étantd eux nombres complexes, calculer la
dérivéedel’application
R → C
t
→ (at + b)
n
où n ∈ Z
17 Soit f la fonction définiepar :
t
= 0 f (t) = t
2
e
i/t
f (0) = 0
Montrerq ue f est dérivable sur R,m ais que sa dérivée
n’est pas continue en 0.
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