Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Toute fonction continue estdérivable.
b) Toute fonction dérivable àdroite et àgauche en un point
est dérivableencepoint.
c) Une fonction estdérivable en un point si et seulement si
elle admet un développement limité d’ordre 1auvoisinage
de ce point.
d) Si une fonction dérivable admet un extremum local en
un point, sa dérivée s’annule en ce point.
e) Si la dérivée d’une fonction s’annule en un point, cette
fonction admet un extremum en ce point.
f) Soit f unef onction dérivable sur un intervalle I . Si
∃k ∈ R + ∀x ∈ I | f
(x)| k , f est k-lipschitzienne
sur I .
g) Si f est dérivable sur un intervalle I contenant un
point a, lim
x→a
f
(x) = f
(a).
h) Toute fonction convexe est dérivable et sa dérivée est
croissante.
i) Toute fonction dérivable sur I dont la dérivée estcroissante estconvexe sur I .
j) Une fonction de R dans C est dérivable si et seulement
si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont dérivables.
Dérivabilité en un point
2 Étudier la dérivabilité en 0des fonctions suivantes :
a) f (x) =
√ x n+1 + x n (n ∈ N
∗
)
b)
⎧
⎨
⎩
x = 0 f (x) =
√ 1+x−
√ 1−x
x
f(0) = 1
c)
⎧
⎨
⎩
x
= 0 f (x) = x sin
1
x
f (0) = 0
d)
⎧
⎨
⎩
x
= 0 f (x) = x
2
sin
1
x
f (0) = 0
3 Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert
de centre x 0 . Si
f (x 0 + h) − f (x 0 − h)
2h
admet une limite
finiequand h tend vers 0, cettelimite est appelée dérivée
symétrique de f en x 0 . Montrer que, si f est dérivable à
droite et àgauche en x 0 , elle admet une dérivée symétrique
en x 0 . La réciproque est-elle vraie ?
4 Soit f la fonction définiesur ] − 1, 1[ par :
⎧
⎨
⎩
x
= 0 f (x) =
x
ln |x|
cos
1
x
f (0) = 0
1) Montrer que f est dérivable sur ] − 1, 1[.
2) On considèreles suites :
u n =
1
π
2
+2nπ
et
v n =
1
−
π
2
+2nπ
.
Calculer les limites des suites ( f
(u n )) et ( f
(v n )).
3) En déduire que la fonction f
n’est pas bornée au voisinage de 0.
5
∗ Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert
de centre 0, continue en 0, telle que f (0) = 0e t:
lim
x→0
f (2x) − f (x)
x
= 0.
1) Montrer que, pour tout entier n ∈ N
∗
:
f (x)
x
=
n
k=1
1
2 k
f
x
2 k−1
− f
x
2 k
x
2 k
+
f
x
2 n
x
.
2) En déduire que f est dérivable en 0.
Calculs de dérivées,
dérivées successives,
études de fonctions
6 Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
a) f (x) =
1
3
√
x 2
−
1
√ x 3
;
b) f (x) =
x +
√
1+x 2 ;
c) f (x) =
x
a
a x (a ∈ R
∗
+ );
d) f (x) = x
x
;
e) f (x) = ln
tan
x
2
;
f) f (x) = ln
x +
√ 1+x 2
;
g) f (x) = (cos x)
sin x
;
h) f (x) = ln
tan
1+
sin(x 2 )
.
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1 Vraioufaux ?
a) Toute fonction continue estdérivable.
b) Toute fonction dérivable àdroite et àgauche en un point
est dérivableencepoint.
c) Une fonction estdérivable en un point si et seulement si
elle admet un développement limité d’ordre 1auvoisinage
de ce point.
d) Si une fonction dérivable admet un extremum local en
un point, sa dérivée s’annule en ce point.
e) Si la dérivée d’une fonction s’annule en un point, cette
fonction admet un extremum en ce point.
f) Soit f unef onction dérivable sur un intervalle I . Si
∃k ∈ R + ∀x ∈ I | f
(x)| k , f est k-lipschitzienne
sur I .
g) Si f est dérivable sur un intervalle I contenant un
point a, lim
x→a
f
(x) = f
(a).
h) Toute fonction convexe est dérivable et sa dérivée est
croissante.
i) Toute fonction dérivable sur I dont la dérivée estcroissante estconvexe sur I .
j) Une fonction de R dans C est dérivable si et seulement
si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont dérivables.
Dérivabilité en un point
2 Étudier la dérivabilité en 0des fonctions suivantes :
a) f (x) =
√ x n+1 + x n (n ∈ N
∗
)
b)
⎧
⎨
⎩
x = 0 f (x) =
√ 1+x−
√ 1−x
x
f(0) = 1
c)
⎧
⎨
⎩
x
= 0 f (x) = x sin
1
x
f (0) = 0
d)
⎧
⎨
⎩
x
= 0 f (x) = x
2
sin
1
x
f (0) = 0
3 Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert
de centre x 0 . Si
f (x 0 + h) − f (x 0 − h)
2h
admet une limite
finiequand h tend vers 0, cettelimite est appelée dérivée
symétrique de f en x 0 . Montrer que, si f est dérivable à
droite et àgauche en x 0 , elle admet une dérivée symétrique
en x 0 . La réciproque est-elle vraie ?
4 Soit f la fonction définiesur ] − 1, 1[ par :
⎧
⎨
⎩
x
= 0 f (x) =
x
ln |x|
cos
1
x
f (0) = 0
1) Montrer que f est dérivable sur ] − 1, 1[.
2) On considèreles suites :
u n =
1
π
2
+2nπ
et
v n =
1
−
π
2
+2nπ
.
Calculer les limites des suites ( f
(u n )) et ( f
(v n )).
3) En déduire que la fonction f
n’est pas bornée au voisinage de 0.
5
∗ Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert
de centre 0, continue en 0, telle que f (0) = 0e t:
lim
x→0
f (2x) − f (x)
x
= 0.
1) Montrer que, pour tout entier n ∈ N
∗
:
f (x)
x
=
n
k=1
1
2 k
f
x
2 k−1
− f
x
2 k
x
2 k
+
f
x
2 n
x
.
2) En déduire que f est dérivable en 0.
Calculs de dérivées,
dérivées successives,
études de fonctions
6 Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
a) f (x) =
1
3
√
x 2
−
1
√ x 3
;
b) f (x) =
x +
√
1+x 2 ;
c) f (x) =
x
a
a x (a ∈ R
∗
+ );
d) f (x) = x
x
;
e) f (x) = ln
tan
x
2
;
f) f (x) = ln
x +
√ 1+x 2
;
g) f (x) = (cos x)
sin x
;
h) f (x) = ln
tan
1+
sin(x 2 )
.
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