Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Exercice résolu
Soit fu ne fonction définie sur R + , positive, bornée, deux fois dérivable, telle que f f
.
1 Montrer quef est convexe.
2 Montrerque fe st décroissante.
3 Montrerque f
et ft endent vers 0en +∞.
4 On considère lesfonctions ge thdéfiniessur R + par :g ( x )=f( x )e
x
, h(x) = (f
(x)+f(x))e
−x
.
a) Étudier le sens de variation et le signe de h.
b) En déduire le sens de variation de g.
c) Montrerque pour tout x ∈ R + :f( x )f(0) e
−x
.
Conseils
Solution
1) f
est positive, donc f
est croissante : f est convexe.
Raisonner par l’absurde.
2) La courbe représentative de f esta ud essus de sa tangente en tout
point. S’ilexistait un point où cette tangente avait un coefficient directeur
strictement positif, f tendrait vers +∞ en +∞, ce qui est impossible
puisqu’elle est bornée.Donc f
est partoutnégative : f est décroissante.
Toute fonction monotone bornée au ne
limite finie en +∞.
3) Comme f estdécroissante et minorée par 0, elle aune limite positive
en +∞. Si >0, f
>>, d’où pour tout x ∈ R + f
(x) > f
(0) + x ;
f
tendrait vers +∞ en +∞, ce qui est exclu. Donc = 0.
De même,: f
est croissante et majorée par0,elle aune limite
négative
en +∞. Si
< 0, pour tout x ∈ R + : f (x) < f (0) −
x ; f tendrait
vers −∞ en +∞, ce qui est exclu ;donc
= 0.
Dériver h(x).
4a ) h est dérivable et h
(x) = (f
(x) − f (x))e
−x
0. Donc h est
croissante et comme elle tend vers 0en+ ∞ ,elle est négative sur R + .
Dériver g(x).
b) g est dérivable et g
(x) = (f
(x)+f(x))e
x
= h(x)e
2x
0; g est
décroissante sur R + .
c) On en déduit quep our tout x ∈ R + : g(x) g(0), c’est-à-dire
f (x) f (0) e
−x
.
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