Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Pourmontrer qu’une fonction f est convexe,onpeut:
• appliquer la définition (ex : x
→ |x|);
• chercher si tout arc de sa représentation graphique est situé en dessous de la corde correspondante ;
• si f est dérivable, montrer que f
est croissante (cf. exercice 14) ;
• si f est deux fois dérivable, montrer que f
est positive.
Ne pas confondre:
• la définition de la dérivée en a :
lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= f
(a)
on peut l’utiliser lorsque, connaissant des propriétésconcernant le taux d’accroissement, on veut obtenir des
propriétés concernant la dérivée (cf. exercice 5 ) ;
• le théorème des accroissements finis :
∃c ∈ ]a, b[
f (b) − f (a)
b − a
= f
(c)
on peut l’utiliser lorsque, connaissant des propriétés de la dérivée, on veut obtenir des propriétés du taux
d’accroissement (cf. exercice 11).
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