Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Démonstration
Posons
f (b) − f (a)
b − a
= r e
iα
avec (r, α) ∈ R + × R et considérons la fonction g
définiepar :
∀t ∈ [a, b]
g(t) = f (t)e
−iα
On ad onc
g(b) − g(a)
b − a
= r ∈ R. Posons g(t) = x(t)+iy(t)e ta ppliquons
l’inégalité des accroissements finisàla fonction réelle x :
∀t ∈ ]a, b[
|x
(t)| |g
(t)| = | f
(t)| M
D’où:
x(b)−x(a)
b−a
M
ce qui équivaut à
g(b) − g(a)
b − a
M ,
puisque
g(b) − g(a)
b − a
estréel.
C’est-à-dire r M ,
soit
f (b) − f (a)
b − a
M .
En particulier, si f
est nulle sur ]a, b[, f est constante sur [a, b].
Pours’entraîner :ex. 15 à17
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une fonction f est dérivable en x 0 ,onpeut:
• appliquer les opérations sur les fonctions dérivables ;
• chercher si f admet un développement limité d’ordre 1auvoisinage de x 0 ;
• chercher si
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
admet une limite finie quand x tend vers x 0 (cf. exercices 2 et 5) ;
• si f est continue en x 0 et dérivable sur un voisinage de x 0 privéde x 0 , chercher si f
admetune limite
finie en x 0 .
Pour calculer une dérivée n-ième,onpeut:
• essayer de conjecturer le résultat au vu des premières dérivées successives, puis le vérifier par récurrence (cf.
exercice 7 a) et b)) ;
• si la fonction se présente comme un produit, appliquer le théorème de Leibniz (cf. Application 1 et exercice 7 f)) ;
• transformerl’expression pour faciliter les dérivations successives (cf. exercice 7 c), d) et e)).
Pour trouver un extremum d’une fonction réelle dérivable sur un intervalle I ,onpeut:
• chercher les points de I où la dérivées ’annule, puis vérifier pour chacun d’entre eux s’il s’agit bien d’un
extremum (cf. Application 2) ;
• examiner la valeur de la fonction aux extrémités de I (où f peut présenter un extremum non local).
Pour étudier les variations d’une fonction réelle dérivable :
• on étudie le signe de sa dérivée (pour cela, on peut être amené àétudier les variations d’une fonction annexe)
(cf. exercice 8).
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
303
Démonstration
Posons
f (b) − f (a)
b − a
= r e
iα
avec (r, α) ∈ R + × R et considérons la fonction g
définiepar :
∀t ∈ [a, b]
g(t) = f (t)e
−iα
On ad onc
g(b) − g(a)
b − a
= r ∈ R. Posons g(t) = x(t)+iy(t)e ta ppliquons
l’inégalité des accroissements finisàla fonction réelle x :
∀t ∈ ]a, b[
|x
(t)| |g
(t)| = | f
(t)| M
D’où:
x(b)−x(a)
b−a
M
ce qui équivaut à
g(b) − g(a)
b − a
M ,
puisque
g(b) − g(a)
b − a
estréel.
C’est-à-dire r M ,
soit
f (b) − f (a)
b − a
M .
En particulier, si f
est nulle sur ]a, b[, f est constante sur [a, b].
Pours’entraîner :ex. 15 à17
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une fonction f est dérivable en x 0 ,onpeut:
• appliquer les opérations sur les fonctions dérivables ;
• chercher si f admet un développement limité d’ordre 1auvoisinage de x 0 ;
• chercher si
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
admet une limite finie quand x tend vers x 0 (cf. exercices 2 et 5) ;
• si f est continue en x 0 et dérivable sur un voisinage de x 0 privéde x 0 , chercher si f
admetune limite
finie en x 0 .
Pour calculer une dérivée n-ième,onpeut:
• essayer de conjecturer le résultat au vu des premières dérivées successives, puis le vérifier par récurrence (cf.
exercice 7 a) et b)) ;
• si la fonction se présente comme un produit, appliquer le théorème de Leibniz (cf. Application 1 et exercice 7 f)) ;
• transformerl’expression pour faciliter les dérivations successives (cf. exercice 7 c), d) et e)).
Pour trouver un extremum d’une fonction réelle dérivable sur un intervalle I ,onpeut:
• chercher les points de I où la dérivées ’annule, puis vérifier pour chacun d’entre eux s’il s’agit bien d’un
extremum (cf. Application 2) ;
• examiner la valeur de la fonction aux extrémités de I (où f peut présenter un extremum non local).
Pour étudier les variations d’une fonction réelle dérivable :
• on étudie le signe de sa dérivée (pour cela, on peut être amené àétudier les variations d’une fonction annexe)
(cf. exercice 8).
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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