COURS 16
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Graphiquement, f
(t 0 )p eut être interprété comme un «vecteur-vitesse »dans le
plan complexe. Il est tangent àlatrajectoire du point f (t)e nt 0 ( Doc. 13).
y
x
O
f (t 0 )
f (t)
f’(t 0 )
f (t)–f(t 0 )
t–t 0
Doc. 13 Vecteur dérivé.
Comme nous l’avons déjà démontré pour les limites, la dérivabilitéd’une fonction
àvaleurs complexes est équivalente àladérivabilité de sa partie réelle et de sa partie
imaginaire et :
si f (t) = x(t)+iy(t)a vec( x ( t ) , y ( t )) ∈ R
2
,
f
(t) = x
(t)+iy
(t)
On peut étendre aux fonctions de R dans C les notions de dérivabilité àdroite, à
gauche, ainsi que toutes les opérations sur les dérivées.
APPLICATION 5
Dérivéedel’exponentielle complexe
Soit λ ∈ C . Calculer la dérivée de la fonction fd e R
dans C définiepar f (t) = e
λt
.
Posons λ = a + ib, avec (a, b) ∈ R
2
.
f (t) = e
(a+ib)t
= e
at
e
ibt
= e
at
cos bt + i e
at
sin bt
f est donc dérivable sur R et :
f
(t) = (a e
at
cos bt − b e
at
sin bt)
+i (a e
at
sin bt + b e
at
cos bt)
f
(t) = e
at
(a + ib)(cos bt + i sin bt)
= (a + ib)e
(a+ib)t
D’où (e
λt
)
= λ e
λt
.
Remarque :C’est ce qui justifie la notationi ntroduite
au chapitre Nombrescomplexes : cos x + i sin x = e
ix
.
6.2 • Propriétés desfonctions dérivables complexes
La notion d’extremum localn ’a plus aucun sens pour les fonctions àv aleurs
complexes.
Aussi faut-ilp rendre garde que le théorème de Rolle et l’égalité des accroissements finis ne sont pas vérifiéspar les fonctions àvaleurs complexes.
Exemple : La fonction f : t
→ e
it
est continue et dérivable sur [0, 2π]e t
f (0) = f (2π). Le théorème de Rolleindiquerait que f
s’annule en un point de
]0, 2π[, ce qui est impossible puisque f
(t) = i e
it
.
D’un point de vue cinématique, contrairement àu np oint d’un axe, un mobile
dans le plan complexe peut passer deux fois au même point sans s’arrêter.
Cependant, l’inégalité des accroissements finis est conservée, sous la forme :
Théorème 9
Soit f une fonction de R dans C ,continue sur un segment [a, b]e tdérivable
sur ]a, b[( avec a < b).
Si ∀t ∈ ]a, b[ | f
(t)| M , alors
f (b) − f (a)
b − a
M .
302
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Graphiquement, f
(t 0 )p eut être interprété comme un «vecteur-vitesse »dans le
plan complexe. Il est tangent àlatrajectoire du point f (t)e nt 0 ( Doc. 13).
y
x
O
f (t 0 )
f (t)
f’(t 0 )
f (t)–f(t 0 )
t–t 0
Doc. 13 Vecteur dérivé.
Comme nous l’avons déjà démontré pour les limites, la dérivabilitéd’une fonction
àvaleurs complexes est équivalente àladérivabilité de sa partie réelle et de sa partie
imaginaire et :
si f (t) = x(t)+iy(t)a vec( x ( t ) , y ( t )) ∈ R
2
,
f
(t) = x
(t)+iy
(t)
On peut étendre aux fonctions de R dans C les notions de dérivabilité àdroite, à
gauche, ainsi que toutes les opérations sur les dérivées.
APPLICATION 5
Dérivéedel’exponentielle complexe
Soit λ ∈ C . Calculer la dérivée de la fonction fd e R
dans C définiepar f (t) = e
λt
.
Posons λ = a + ib, avec (a, b) ∈ R
2
.
f (t) = e
(a+ib)t
= e
at
e
ibt
= e
at
cos bt + i e
at
sin bt
f est donc dérivable sur R et :
f
(t) = (a e
at
cos bt − b e
at
sin bt)
+i (a e
at
sin bt + b e
at
cos bt)
f
(t) = e
at
(a + ib)(cos bt + i sin bt)
= (a + ib)e
(a+ib)t
D’où (e
λt
)
= λ e
λt
.
Remarque :C’est ce qui justifie la notationi ntroduite
au chapitre Nombrescomplexes : cos x + i sin x = e
ix
.
6.2 • Propriétés desfonctions dérivables complexes
La notion d’extremum localn ’a plus aucun sens pour les fonctions àv aleurs
complexes.
Aussi faut-ilp rendre garde que le théorème de Rolle et l’égalité des accroissements finis ne sont pas vérifiéspar les fonctions àvaleurs complexes.
Exemple : La fonction f : t
→ e
it
est continue et dérivable sur [0, 2π]e t
f (0) = f (2π). Le théorème de Rolleindiquerait que f
s’annule en un point de
]0, 2π[, ce qui est impossible puisque f
(t) = i e
it
.
D’un point de vue cinématique, contrairement àu np oint d’un axe, un mobile
dans le plan complexe peut passer deux fois au même point sans s’arrêter.
Cependant, l’inégalité des accroissements finis est conservée, sous la forme :
Théorème 9
Soit f une fonction de R dans C ,continue sur un segment [a, b]e tdérivable
sur ]a, b[( avec a < b).
Si ∀t ∈ ]a, b[ | f
(t)| M , alors
f (b) − f (a)
b − a
M .
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