Dérivation des fonctions d’une variable réelle
COURS
16
Démonstration
Surl’intervalle I :
f
croissante ⇐⇒ f
positive.
De même,cette fonction est concave sur I si et seulement si sa dérivéeseconde
est négative sur I .
En un point où la dérivéeseconde s’annule en changeant de signe, la courbe change
de concavité :ondit qu’il s’agit d’un point d’inflexion.
5.4 • Position parrapport àune tangente
Théorème 8
La courbe représentative d’unef onction convexe dérivable sur un intervalle I
est au-dessusdechacune de ses tangentes.
Démonstration
Soit f une fonction convexed érivable sur I . L’équationd el at angente às a
courbe représentative en un point x 0 est y = f (x 0 )+f
(x 0 )(x − x 0 ).
Posons h(x) = f (x) −
f (x 0 )+f
(x 0 )(x − x 0 )
.
La fonction h estdérivable sur I et h
(x) = f
(x)−f
(x 0 ). f
étant croissante
sur I , les variations de h sont donnéespar le tableau ci-dessous :
x
x 0
h
−
0+
h
0
On en déduit que h est toujours positive:la courbe est au-dessus de sa tangente
(Doc. 12).
y
x
O
x 0
h(x)
Doc. 12 La courbe est au dessus de sa
tangente.
De même, la courbe d’une fonction concave sur I est en dessous de ses tangentes.
En un pointd’inflexion, la courbe traverse sa tangente.
6 Dérivationdes fonctions
de R dans C
6.1 • Définition
On peut étendre sans problèmeladéfinition de la dérivabilité au cas d’une fonction
d’une variable réelle àvaleurs complexes :
Soit f une fonction de R dans C définie sur un intervalle I contenant au moins
deux points et t 0 ∈ I .
On dit que f est dérivable en t 0 si l’application t
→
f (t) − f (t 0 )
t − t 0
admet une
limite finie quand t tendvers t 0 .
Cette limite, complexe, est alors appelée dérivée de f en t 0 , et notée f
(t 0 ).
f
(t 0 ) = lim
t→t0
f (t) − f (t 0 )
t − t 0
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
301