COURS 16
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Et, enfin :
pt f (z) λf (x)+(1−λ)f(y)
Cette inégalité est évidente pour λ = 0o u1 ;e lle est donc établie pour tout
λ ∈ [0, 1] ;p ar conséquent, f est convexe.
y
x
O
x 0
M 0
x 1 x 2 x 3
Doc. 10 Croissance des pentes.
Graphiquement, cette propriété signifie que la pente d’une sécante dont on fixe
une extrémité est une fonction croissante de l’autre extrémité (Doc. 10).
De même, f est concave si et seulement si cette même application estdécroissante.
Pours’entraîner :ex.13
5.3 • Caractérisation des fonctionsconvexes dérivables
Théorème 7
Unefonction de R dans R dérivable sur un intervalle I est convexe sur I si et
seulement si sa dérivéeest croissante sur I .
Démonstration
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
1) Supposons f convexes ur I . Soit (x, y) ∈ I
2
avec x < y. Pour tout
z ∈ ]x, y[, on a:
f(z)−f(x)
z−x
f(z)−f(y)
z−y
En faisant tendre z vers x àdroite ,onobtient f
(x)
f (y) − f (x)
y − x
.
En faisanttendre z vers y àgauche, on obtient
f (y) − f (x)
y − x
f
(y);
d’où
f
(x)
f (y) − f (x)
y − x
f
(y).
f
est donc croissante sur I .
y
t
xcy
O
g (t)
Doc. 11 La fonction g.
2) Supposons f
croissantesur I . Soit (x, y) ∈ I
2
telque x < y et y = mx + p
l’équation de la droite joignant les points d’abscisses x et y de la courbe représentative de f . Soit g la fonction définiepar g(t) = f (t) − (mt + p), pour t ∈ I .
g est dérivable sur [x, y]e tg
( t )=f
( t ) − m .D’après le théorème des accroissementsfinis, il existe c ∈ ]x, y[t el que f
(c) = m, c’est-à-dire g
(c) = 0. La
fonction g
étantcroissante, elle est négative sur [x, c]e tpositive sur [c, y].
D’où les variations de g :
t
xcy
g
−
0+
00
g
La fonction g est donc toujours négative :lacourbe est en dessous de sa corde, f
est donc convexe sur I (Doc. 11).
De même, une fonction dérivable est concave sur I si et seulement si sa dérivée
est décroissante sur I .
Corollaire7.1
Une fonction de R dans R deux fois dérivables ur un intervalle I est convexe
sur I si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur I .
300
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Et, enfin :
pt f (z) λf (x)+(1−λ)f(y)
Cette inégalité est évidente pour λ = 0o u1 ;e lle est donc établie pour tout
λ ∈ [0, 1] ;p ar conséquent, f est convexe.
y
x
O
x 0
M 0
x 1 x 2 x 3
Doc. 10 Croissance des pentes.
Graphiquement, cette propriété signifie que la pente d’une sécante dont on fixe
une extrémité est une fonction croissante de l’autre extrémité (Doc. 10).
De même, f est concave si et seulement si cette même application estdécroissante.
Pours’entraîner :ex.13
5.3 • Caractérisation des fonctionsconvexes dérivables
Théorème 7
Unefonction de R dans R dérivable sur un intervalle I est convexe sur I si et
seulement si sa dérivéeest croissante sur I .
Démonstration
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
1) Supposons f convexes ur I . Soit (x, y) ∈ I
2
avec x < y. Pour tout
z ∈ ]x, y[, on a:
f(z)−f(x)
z−x
f(z)−f(y)
z−y
En faisant tendre z vers x àdroite ,onobtient f
(x)
f (y) − f (x)
y − x
.
En faisanttendre z vers y àgauche, on obtient
f (y) − f (x)
y − x
f
(y);
d’où
f
(x)
f (y) − f (x)
y − x
f
(y).
f
est donc croissante sur I .
y
t
xcy
O
g (t)
Doc. 11 La fonction g.
2) Supposons f
croissantesur I . Soit (x, y) ∈ I
2
telque x < y et y = mx + p
l’équation de la droite joignant les points d’abscisses x et y de la courbe représentative de f . Soit g la fonction définiepar g(t) = f (t) − (mt + p), pour t ∈ I .
g est dérivable sur [x, y]e tg
( t )=f
( t ) − m .D’après le théorème des accroissementsfinis, il existe c ∈ ]x, y[t el que f
(c) = m, c’est-à-dire g
(c) = 0. La
fonction g
étantcroissante, elle est négative sur [x, c]e tpositive sur [c, y].
D’où les variations de g :
t
xcy
g
−
0+
00
g
La fonction g est donc toujours négative :lacourbe est en dessous de sa corde, f
est donc convexe sur I (Doc. 11).
De même, une fonction dérivable est concave sur I si et seulement si sa dérivée
est décroissante sur I .
Corollaire7.1
Une fonction de R dans R deux fois dérivables ur un intervalle I est convexe
sur I si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur I .
300