Exercices
1 Vraioufaux ?
a. Deux complexes dont la somme et le produit sont réels,
sont des réels.
b. Pour tout complexe z, |z|
2
= z
2
.
c. Pour tous complexes a et b,
a + ib = 0 ⇒ a = b = 0
d. Deux complexesd em ême module dont les arguments
diffèrent de 2π sontégaux.
e. ∀z ∈ C
e
z
= −1 ⇒ z = iπ
f. L’application z
→ e
z
estbijective.
g. L’ensemble des nombres complexesdemodule 1est un
groupe multiplicatif.
h. Tout nombre complexe non nul possède n racines nièmesdistinctes.
i. Pour tout entier n 2, la somme des racines n-ièmes
d’un nombre complexe estnulle.
j. Une équation du second degré dans C at oujours des
solutions.
Forme algébrique –module
2 Soit z et z
deux complexes de module 1et a un
réel.Onnote :
Z = z + z
+ azz
+1 et Z
= z + z
+ zz
+ a
1) Montrer que Z
= zz
Z et que |Z | = |Z
|.
2) On suppose que 1+zz
= 0. Montrerque le nombre
u =
z + z
1+zz est réel.
3 Démontrerque :
∀n ∈ N
∗
n
k=1
ki
k−1
=
i − ni
n
− (n +1)i
n +1
2
En déduireles sommes réelles :
S 1 = 1 − 3+5−7+···+(−1)
p
(2p +1)
et
S 2 = 2 − 4+6−8+···+(−1)
p+1
2p
4 Déterminer z pour que z, z − 1e t
1
z
aient le
même module.
5 Soit u et v deux complexes. Montrer que :
|u| + |v| |u + v| + |u − v|
|u + v|
2
+ |u − v|
2
= 2(|u|
2
+ |v|
2
)
(formule du parallélogramme)
6 Un entier n est «somme de deux carrés »s’il existe
(a, b) ∈ N
2
telque n = a
2
+ b
2
. Montrerqu’un produit
fini de tels entiers estencore somme de deux carrés.
7 Pour a et b complexes tels que ab = 1, soit
z =
a − b
1 − ab
. Montrerque :
|z| = 1
⇐⇒
| a | = 1o u| b | = 1
Caractériser de même |z| < 1.
Applications àlatrigonométrie –
formetrigonométrique
8 Calculer les sommes :
S 1 =
n
k=0
cos kx ;
S 2 =
n
k=0
sin kx ;
S 3 =
n
k=0
cos
2
kx ;
S 4 =
n
k=0
sin
2
kx ;
S 5 =
n
k=0
cos kx
cos k x
;
S 6 =
n
k=0
sin kx
cos k x
;
S 7 =
n
k=0
n
k
cos kx ; S 8 =
n
k=0
n
k
sin kx.
9 Calculer le nombre complexe
1+i
√
3
1−i
20
10 1) Déterminer le module et un argument de z =
1+cos α + i sin α en discutant suivant la valeur du réel α.
2) Soit z
=
1 − i
1+cos α + i sin α
où α ∈ ]−π, π[. Calculer
en fonction de α le module et un argument de z
.
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1 Vraioufaux ?
a. Deux complexes dont la somme et le produit sont réels,
sont des réels.
b. Pour tout complexe z, |z|
2
= z
2
.
c. Pour tous complexes a et b,
a + ib = 0 ⇒ a = b = 0
d. Deux complexesd em ême module dont les arguments
diffèrent de 2π sontégaux.
e. ∀z ∈ C
e
z
= −1 ⇒ z = iπ
f. L’application z
→ e
z
estbijective.
g. L’ensemble des nombres complexesdemodule 1est un
groupe multiplicatif.
h. Tout nombre complexe non nul possède n racines nièmesdistinctes.
i. Pour tout entier n 2, la somme des racines n-ièmes
d’un nombre complexe estnulle.
j. Une équation du second degré dans C at oujours des
solutions.
Forme algébrique –module
2 Soit z et z
deux complexes de module 1et a un
réel.Onnote :
Z = z + z
+ azz
+1 et Z
= z + z
+ zz
+ a
1) Montrer que Z
= zz
Z et que |Z | = |Z
|.
2) On suppose que 1+zz
= 0. Montrerque le nombre
u =
z + z
1+zz est réel.
3 Démontrerque :
∀n ∈ N
∗
n
k=1
ki
k−1
=
i − ni
n
− (n +1)i
n +1
2
En déduireles sommes réelles :
S 1 = 1 − 3+5−7+···+(−1)
p
(2p +1)
et
S 2 = 2 − 4+6−8+···+(−1)
p+1
2p
4 Déterminer z pour que z, z − 1e t
1
z
aient le
même module.
5 Soit u et v deux complexes. Montrer que :
|u| + |v| |u + v| + |u − v|
|u + v|
2
+ |u − v|
2
= 2(|u|
2
+ |v|
2
)
(formule du parallélogramme)
6 Un entier n est «somme de deux carrés »s’il existe
(a, b) ∈ N
2
telque n = a
2
+ b
2
. Montrerqu’un produit
fini de tels entiers estencore somme de deux carrés.
7 Pour a et b complexes tels que ab = 1, soit
z =
a − b
1 − ab
. Montrerque :
|z| = 1
⇐⇒
| a | = 1o u| b | = 1
Caractériser de même |z| < 1.
Applications àlatrigonométrie –
formetrigonométrique
8 Calculer les sommes :
S 1 =
n
k=0
cos kx ;
S 2 =
n
k=0
sin kx ;
S 3 =
n
k=0
cos
2
kx ;
S 4 =
n
k=0
sin
2
kx ;
S 5 =
n
k=0
cos kx
cos k x
;
S 6 =
n
k=0
sin kx
cos k x
;
S 7 =
n
k=0
n
k
cos kx ; S 8 =
n
k=0
n
k
sin kx.
9 Calculer le nombre complexe
1+i
√
3
1−i
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10 1) Déterminer le module et un argument de z =
1+cos α + i sin α en discutant suivant la valeur du réel α.
2) Soit z
=
1 − i
1+cos α + i sin α
où α ∈ ]−π, π[. Calculer
en fonction de α le module et un argument de z
.
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