Nombres complexes
Complément : Pour résoudre une équation du troisièmed egré quelconque z
3
+ az
2
+ bz + c = 0, on peut toujours se ramener àl af orme
Z
3
+ pZ + q = 0e nposant Z = z +
a
3
afin d’éliminer les termes en z
2
.
Exemple : Résoudre l’équation: z
3
+12z
2
+42z+44=0.
Cette équation équivaut à( z+4)
3
−6(z +4)+4=0. On est ramené au
troisième exemple ci-dessus. D’où S = {−2, −5 −
√
3, −5+
√ 3}.
Note historique
Nicolo Tartaglia (1500-1557) découvrit, vers 1540, une merveilleuse méthode de résolution algébrique d’équations du
troisième degré. Lors d’un défi l’opposant àA ntonio Maria Fior, qui l’accusait de l’avoir plagié, Tartaglia résolut trente
équations proposées par Fior, alors que ce dernier ne put en résoudre une seule de Tartaglia. Invité par Jérôme Cardan qui
lui proposait de financer ses recherches, Tartaglia commit l’imprudence de lui confier son secret. Cardan s’empressa de le
publier sous son nom et il s’ensuivit une querelle de plusieursannées jusqu’à ce que des menaces de mort fassent renoncer
Tartaglia àdéfendre ses droits...
La méthode de Tartaglia laissait cependant quelques zones d’ombre :onseramenait àune équation du second degré qui,
lorsqu’elle possédait deux racines réelles, fournissait une unique racine réelle de l’équation du troisième degré. Mais lorsque
l’équation du second degré n’avait pas de racine réelle, la méthode semblait impuissante àfournir les racines réelles évidentes
de l’équation du troisième degré ;p our comble de malchance, c’est justement dans ce cas qu’il ye na vait le plus grand
nombre... (au maximum trois, les racines négatives étant àl’époque écartées).
Quelques années plus tard, Raffaele Bombelli n’hésita pas, non seulement àconsidérer des nombres négatifs, mais aussi à
leur attribuer une racine carrée... Il compléta ainsi la méthode de Tartaglia, trouvant systématiquement toutes les solutions
réelles de l’équation du troisième degré après élimination des racines carrées de négatifs.
Les nombres complexesétaient nés...
27
Complément : Pour résoudre une équation du troisièmed egré quelconque z
3
+ az
2
+ bz + c = 0, on peut toujours se ramener àl af orme
Z
3
+ pZ + q = 0e nposant Z = z +
a
3
afin d’éliminer les termes en z
2
.
Exemple : Résoudre l’équation: z
3
+12z
2
+42z+44=0.
Cette équation équivaut à( z+4)
3
−6(z +4)+4=0. On est ramené au
troisième exemple ci-dessus. D’où S = {−2, −5 −
√
3, −5+
√ 3}.
Note historique
Nicolo Tartaglia (1500-1557) découvrit, vers 1540, une merveilleuse méthode de résolution algébrique d’équations du
troisième degré. Lors d’un défi l’opposant àA ntonio Maria Fior, qui l’accusait de l’avoir plagié, Tartaglia résolut trente
équations proposées par Fior, alors que ce dernier ne put en résoudre une seule de Tartaglia. Invité par Jérôme Cardan qui
lui proposait de financer ses recherches, Tartaglia commit l’imprudence de lui confier son secret. Cardan s’empressa de le
publier sous son nom et il s’ensuivit une querelle de plusieursannées jusqu’à ce que des menaces de mort fassent renoncer
Tartaglia àdéfendre ses droits...
La méthode de Tartaglia laissait cependant quelques zones d’ombre :onseramenait àune équation du second degré qui,
lorsqu’elle possédait deux racines réelles, fournissait une unique racine réelle de l’équation du troisième degré. Mais lorsque
l’équation du second degré n’avait pas de racine réelle, la méthode semblait impuissante àfournir les racines réelles évidentes
de l’équation du troisième degré ;p our comble de malchance, c’est justement dans ce cas qu’il ye na vait le plus grand
nombre... (au maximum trois, les racines négatives étant àl’époque écartées).
Quelques années plus tard, Raffaele Bombelli n’hésita pas, non seulement àconsidérer des nombres négatifs, mais aussi à
leur attribuer une racine carrée... Il compléta ainsi la méthode de Tartaglia, trouvant systématiquement toutes les solutions
réelles de l’équation du troisième degré après élimination des racines carrées de négatifs.
Les nombres complexesétaient nés...
27