Nombres complexes
3) En résumé, l’équation (1) au ne solution réelle simple, deux solutions
réelles dont une double (voire triple) ou trois solutions réelles distinctes
suivant que 4p
3
+27q
2
est strictement positif, nul ou strictement négatif.
On peut retrouver ces résultats par l’étuded es variations de la fonction
f : x
→ x
3
+ px + q. L’équation f (x) = 0aau moins une solution réelle,
car f est continue et lim
x→−∞
f (x) = −∞, lim
x→+∞
f (x) = +∞.
f est dérivable sur R et f
(x) = 3x
2
+ p. Si p 0, f est strictement
croissantesur R ,ilyaune seule solution réelle (simple ou triple). Si p < 0,
les variations de f sont les suivantes :
x −∞
−
−
p
3
−
p
3
+∞
α
+∞
f
− ∞
β
avec α = q −
−
4p
3
27
et β = q +
−
4p
3
27
d’où αβ =
4p
3
+27q
2
27
.
Appliquer le théorème :
«Toute fonction continue strictement
monotone sur un intervalle I est une
bijection de I dans f (I )»
successivement aux intervalles :
−∞, −
−
p
3
,
−
−
p
3
,
−
p
3
et
−
p
3
, +∞
.
Il yatrois solutions réelles si et seulement si αβ < 0, c’est-à-dire
4p
3
+27q
2
<0;
Il yad eux solutions réelles dont une double si et seulement si αβ > 0,
c’est-à-dire 4p
3
+27q
2
=0;
Il yau ne solution réelle simple si et seulement si αβ > 0, c’est-à-dire
4p
3
+27q
2
>0.
4) Exemples :
z
3
− 12z − 65 = 0
u
3
v
3
= 64 , u
3
+ v
3
= 65 ;d ’où u
3
= 1, v
3
= 64
u ∈{1,j,j} v∈{4,4j,4j} uv ∈ R
L’équation aune solution réelle et deux solutions complexes conjuguées :
S =
5,
−5 − 3
√
3 i
2
,
−5+3
√ 3i
2
z
3
−12z − 16 = 0
u
3
v
3
= 64 , u
3
+ v
3
= 16 ;d ’où u
3
= v
3
= 8
(u, v) ∈{2,2j,2j}
2
uv ∈ R
L’équation adeux solutions réelles : S = {4, −2}.
z
3
− 6z +4=0
u
3
v
3
=8, u
3
+v
3
=−4d ’où u
3
= −2+2i = 2
√ 2e
i
3 π
4 , v
3
= u
3
u ∈
√ 2e
i
π
4 ,
√ 2e
i
11π
12 ,
√ 2e
i
19π
12
v ∈
√ 2e
−i
π
4 ,
√ 2e
−i
11π
12 ,
√ 2e
−i
19π
12
uv ∈ R
L’équation atrois solutions réelles : S = {2, −1 −
√ 3, −1+
√
3}.
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