Nombres complexes
Conseils
Solution
1) Soit u et v deux complexes tels que uv = −
p
3
.Lecomplexe u + v
est solution de (1) si et seulementsi:
(u+v)
3
+p(u+v)+q=0
c’est-à-dire u
3
+ v
3
+(u+v)(3uv + p)+q=0, d’où :
u
3
+ v
3
= −q et u
3
v
3
= −
p
3
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Deux nombresc omplexes de somme S
et de produit P sont les racines du polynôme X
2
− SX + P.
u
3
et v
3
sont donc les solutions de l’équation du second degré :
(2)
X
2
+ qX −
p
3
27
= 0
dont le discriminant est réel :
Δ =
1
27
(4p
3
+27q
2
)
Si u estu ne racine cubique de U , les
deuxautres racines cubiques de U sont
u e
2iπ
3
et u e
−
2iπ
3 .
2)
Si Δ > 0, l’équation (2) adeux solutions réelles distinctes (U , V ).
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u
3
= U
v
3
= V
uv = −
p
3
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u ∈{
3
√
U,
3
√
Uj ,
3
√ Uj }
v∈{
3
√
V,
3
√ Vj ,
3
√ Vj }
uv ∈ R
Apparier lessolutions en u et v de sorte
que uv soit réel.
D’où : (u, v) ∈{(
3
√
U,
3
√ V),(
3
√ Uj ,
3
√ Vj ) ,(
3
√ Uj ,
3
√
Vj ) }
L’équation (1) adonc une solution réelle z 0 =
3
√ U +
3
√ V et deux solutions
complexes conjuguées :
z 1 =
3
√ Uj+
3
√ Vj et z 1 =
3
√ U j +
3
√ Vj
Si Δ = 0, l’équation (2) aune racine double réelle U = −
q
2
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u
3
= U
v
3
= V
uv = −
p
3
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u ∈
3
√ U ,
3
√ Uj,
3
√
Uj
v∈
3
√
U,
3
√ Uj,
3
√ Uj
uv ∈ R
D’où :
(u, v) ∈{(
3
√ U,
3
√ U),(
3
√ Uj,
3
√ Uj),(
3
√ Uj,
3
√
Uj)}
L’équation (2) adonc deux solutions réelles : z 0 = 2
3
√ U et z 1 = −
3
√
U
Les racines cubiques de U sont u 0 , u 0 j
et u 0 j.
Si Δ < 0, l’équation (2) ad eux solutions complexes conjuguées
(U , U ). Soit u 0 , u 0 j et u 0 j les trois racines cubiques de U .
(u, v) ∈{(u 0 ,u 0 ),(u 0 j,u 0 j),(u 0 j,u 0 j)}
L’équation (1) atrois solutions réelles : z 0 = 2Re (u 0 ), z 1 = 2Re (u 0 j)
et z 2 = 2Re (u 0 j ).
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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