Nombres complexes
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’un nombre complexe est réel,onpeut:
• montrer que sa partie imaginaire estnulle ;
• montrerqu’il estégal àson conjugué ;
• montrer qu’il estnul ou que son argument est0modulo π.
Pour montrerqu’un nombre complexeest imaginaire pur,onpeut:
• montrer que sa partie réelle est nulle ;
• montrer qu’ilest égal àl’opposé de son conjugué ;
• montrer qu’il estnul ou que son argument est
π
2
modulo π.
Pourcalculer une puissance d’un nombrecomplexe :
le mettre sous la forme trigonométrique.
Pour calculer une somme de cosinus, respectivement une somme de sinus :
reconnaître la partie réelle, respectivement la partieimaginaire, de la somme des termes d’une suite géométrique
complexe.
Pour écrire 1+e
iθ
et 1 − e
iθ
(θ ∈ R) sous la forme r e
i α
, avec (r, α) ∈ R
2
,onpeut
factoriser par e
i
θ
2 :
1+e
iθ
=e
i
θ
2
e
− i
θ
2 +e
i
θ
2
=2cos
θ
2
e
i
θ
2
1 − e
iθ
= e
i
θ
2
e
−i
θ
2 − e
i
θ
2
= 2sin
θ
2
e
i (
θ
2 −
π
2 )
...................................................................................................................................................................................................
Exercice résolu
ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ, MÉTHODE DE TARTAGLIA
On considère l’équation dans C : (1)
z
3
+ pz + q = 0, où (p, q) ∈ R
2
1 Si ze st solution de (1),oncherche deux complexes ue tvtels que u + v = ze tu v=−
p
3
.
Montrer queu
3
et v
3
sont lessolutions d’une équation du second degré (2).
2 En déduire la résolution de l’équation (1) dans C.
3 Discuter selon les valeursdepet ql enombre de solutions réelles de l’équation (1).
4 Exemples :Résoudre dans C et dans R les équations :
z
3
− 12z − 65 = 0, z
3
− 12z − 16 = 0 et z
3
− 6z +4=0
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