Nombres complexes
M ∈ C si et seulement si ses composantes x, y
vérifient (E), c’est-à-diresietseulement si :
x
2
+ y
2
− 2ax
(x
2
+ y
2
) − 2ay
(x
2
+ y
2
)
+ c(x
2
+ y
2
)
2
= 0
Soit,e ns implifiant par c(x
2
+ y
2
), qui n’est pas
nul :
x
2
+ y
2
− 2
a
c
x
− 2
b
c
y
+
1
c
= 0
M
décrit doncu nc ercle C
, ne passantp as
par O.
Remarquons quel ec entre du cercle image
C
n’est pas en général l’image du centre du
cercle C .
3) Soit M
= I (M )e tN
=I ( N ) ,montrons que :
M
N
=
MN
OM .ON
Pour ce calcul, choisissons un repère orthonormal
(O,, i, j)t el que
−−→
OM = a i, a > 0, d’où
OM
=
1
a
i.
N = (x, y), d’où :
N
=
x
x 2 + y 2 ,
y
x 2 + y 2
Alors:
(M
N
)
2
=
x
x 2 +y 2 −
1
a
2
+
y
x 2 +y 2
2
=
1
a 2 (x 2 +y 2 ) 2 (a
2
x
2
−2ax(x
2
+ y
2
)
+(x
2
+ y
2
)
2
+ a
2
y
2
)
=
a
2
− 2ax + x
2
+ y
2
a 2 (x 2 + y 2 )
=
(x − a)
2
+ y
2
a 2 (x 2 + y 2 )
=
MN
2
OM 2 .ON 2
4) Soit A, B, C , D quatre pointscocycliques distincts.
Supposons que C est entre les points B et D ;e t
notons B
, C
et D
les images par I , inversion de
pôle A, de cespoints : B
, C
et D
sont alignés et
C
est entre B
et D
(Doc.13), nous avons donc :
B
D
= B
C
+ C
D
, ce qui se traduitàl’aide de la
question 3) par :
BD
AB.AD
=
BC
AC .AB
+
CD
AC .AD
A
B
C
B
0
D
0
D
O
C
0
IA ()
0
Doc. 13
Soit, en réduisant au même dénominateur :
BC .AD + CD.AB = BD.AC
Les deux autres égalités proposées correspondent
aux autres dispositions relatives des points B,
C et D.
Réciproquement, si l’une des trois égalités estvérifiée,
les points B
, C
et D
sont alignés.
Considérons alors leurs images B, C et D, directes
ou réciproquespar une inversion de pôle A.
• si A n’est pas un point de la droite (B
, C
),
l’image de cetted roite est un cercle passant par
A, ce qui signifie que A, B, C et D sont cocycliques;
• Si A ∈ (B
, C
), cettedroite est invariante par I ,
A, B, C et D sont alignés.
Quatre points du plan sont donc alignés ou cocycliques si et seulement s’ilsv érifient l’une des
trois conditionsp roposées, c’est le théorème de
Ptolémée.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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M ∈ C si et seulement si ses composantes x, y
vérifient (E), c’est-à-diresietseulement si :
x
2
+ y
2
− 2ax
(x
2
+ y
2
) − 2ay
(x
2
+ y
2
)
+ c(x
2
+ y
2
)
2
= 0
Soit,e ns implifiant par c(x
2
+ y
2
), qui n’est pas
nul :
x
2
+ y
2
− 2
a
c
x
− 2
b
c
y
+
1
c
= 0
M
décrit doncu nc ercle C
, ne passantp as
par O.
Remarquons quel ec entre du cercle image
C
n’est pas en général l’image du centre du
cercle C .
3) Soit M
= I (M )e tN
=I ( N ) ,montrons que :
M
N
=
MN
OM .ON
Pour ce calcul, choisissons un repère orthonormal
(O,, i, j)t el que
−−→
OM = a i, a > 0, d’où
OM
=
1
a
i.
N = (x, y), d’où :
N
=
x
x 2 + y 2 ,
y
x 2 + y 2
Alors:
(M
N
)
2
=
x
x 2 +y 2 −
1
a
2
+
y
x 2 +y 2
2
=
1
a 2 (x 2 +y 2 ) 2 (a
2
x
2
−2ax(x
2
+ y
2
)
+(x
2
+ y
2
)
2
+ a
2
y
2
)
=
a
2
− 2ax + x
2
+ y
2
a 2 (x 2 + y 2 )
=
(x − a)
2
+ y
2
a 2 (x 2 + y 2 )
=
MN
2
OM 2 .ON 2
4) Soit A, B, C , D quatre pointscocycliques distincts.
Supposons que C est entre les points B et D ;e t
notons B
, C
et D
les images par I , inversion de
pôle A, de cespoints : B
, C
et D
sont alignés et
C
est entre B
et D
(Doc.13), nous avons donc :
B
D
= B
C
+ C
D
, ce qui se traduitàl’aide de la
question 3) par :
BD
AB.AD
=
BC
AC .AB
+
CD
AC .AD
A
B
C
B
0
D
0
D
O
C
0
IA ()
0
Doc. 13
Soit, en réduisant au même dénominateur :
BC .AD + CD.AB = BD.AC
Les deux autres égalités proposées correspondent
aux autres dispositions relatives des points B,
C et D.
Réciproquement, si l’une des trois égalités estvérifiée,
les points B
, C
et D
sont alignés.
Considérons alors leurs images B, C et D, directes
ou réciproquespar une inversion de pôle A.
• si A n’est pas un point de la droite (B
, C
),
l’image de cetted roite est un cercle passant par
A, ce qui signifie que A, B, C et D sont cocycliques;
• Si A ∈ (B
, C
), cettedroite est invariante par I ,
A, B, C et D sont alignés.
Quatre points du plan sont donc alignés ou cocycliques si et seulement s’ilsv érifient l’une des
trois conditionsp roposées, c’est le théorème de
Ptolémée.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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