COURS 1
Nombres complexes
APPLICATION 2
Étudedel’inversion
Soit Il ’application de C
∗
dans C
∗
définie par
I (z) =
1
z
. On note encore Il ’application correspondanteduplan complexe, appelée inversion.
1) Vérifier que l’inversion est uneinvolution du plan P
privé de Od ans lui-même.
2) Déterminer l’image parI :
• d’une droite passant par O, privée de O ;
• d’une droite ne passant paspar O ;
• d’un cercle passant parO ,privé de O ;
• d’un cercle ne passant pas parO .
3) Soit M
= I (M ) et N
= I (N ), montrerque :
M
N
=
MN
OM .ON
4) Soit A, B, C , Dq uatre points cocycliques distincts.
En considérant unei nversion de pôle A, montrerq ue
l’une des égalités suivantesest vérifiée :
⎧
⎨
⎩
BC .AD + CD.AB = BD.AC
ou BC .AD + BD.AC = CD.AB
ou CD.AB + BD.AC = BC .AD
Étudierlaréciproque.
1) Pour tout M
= O, I (M ) = M
telque :
O, M et M
sont sur la même demi-droite issue de
O et OM .OM
= 1.
Ce quiprouve immédiatement que l’image par I de
M
est M :l ’inversion est une involution du plan
P privé de O danslui-même.
2) Image par I :
• D’une droite D passantpar O, privée de O
D’aprèslaremarque précédente, l’image de D est
D
, inclused ans D, si D
étaits trictement incluse dans D, on aurait I (D
)s trictement incluse
dans D, ce qui est absurde puisque I ◦ I (D) = D.
• D’une droite ne passant pas par O
Soit D une telle droite,considérons H projection
orthogonale de O sur D et H
image de H par I .
Soit alors M un point de D et M
son image
(Doc.12). Nous avons :
1 = OH .OH
= OM .OM
⇐⇒
OM
OH =
OH
OM
et par alignement des points O, H , H
d’une
part, O, M , M
d’autre part,( OH , OM ) =
(OM
, OH
), les triangles OHM et OM
H
sont donc semblables,c eq ui prouve que l’angle
OM
H
est droit :l’image de D est inclusedans
le cercle C de diamètre [OH
], privédel’origine.
O
H
H 0
M 0
M
Doc. 12
Réciproquement, soit N un point de ce cercle
autre que O, la droite (ON )c oupe D en N
.
Les deux triangles rectangles ONH
et OHN
ont
en commun l’angle
O , ils sont donc semblables,
ce qui prouve que :
ON
OH =
OH
ON ⇐⇒ 1 = OH .OH
= ON .ON
N
= I (N ) ⇐⇒ N = I ( N
) .
L’image de D \{O} est donc C \{O}.
• D’un cercle passant par O, privéde O
D’après l’étude précédente l’image de C \{ O} ,
où C estu nc ercle passant par O, dont un diamètre est OH
, estl ad roite perpendiculaire en
H = I (H
)àce diamètre.
• D’un cercle ne passantpas par O
Soituntel cercle C , d’équation cartésienne :
(E) x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0 c = 0
Soit M un point de ce cercle et M
= I (M ),
donc M = I (M
), nous avons donc :
(x, y) =
x
x 2 + y 2 ,
y
x 2 + y 2
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Nombres complexes
APPLICATION 2
Étudedel’inversion
Soit Il ’application de C
∗
dans C
∗
définie par
I (z) =
1
z
. On note encore Il ’application correspondanteduplan complexe, appelée inversion.
1) Vérifier que l’inversion est uneinvolution du plan P
privé de Od ans lui-même.
2) Déterminer l’image parI :
• d’une droite passant par O, privée de O ;
• d’une droite ne passant paspar O ;
• d’un cercle passant parO ,privé de O ;
• d’un cercle ne passant pas parO .
3) Soit M
= I (M ) et N
= I (N ), montrerque :
M
N
=
MN
OM .ON
4) Soit A, B, C , Dq uatre points cocycliques distincts.
En considérant unei nversion de pôle A, montrerq ue
l’une des égalités suivantesest vérifiée :
⎧
⎨
⎩
BC .AD + CD.AB = BD.AC
ou BC .AD + BD.AC = CD.AB
ou CD.AB + BD.AC = BC .AD
Étudierlaréciproque.
1) Pour tout M
= O, I (M ) = M
telque :
O, M et M
sont sur la même demi-droite issue de
O et OM .OM
= 1.
Ce quiprouve immédiatement que l’image par I de
M
est M :l ’inversion est une involution du plan
P privé de O danslui-même.
2) Image par I :
• D’une droite D passantpar O, privée de O
D’aprèslaremarque précédente, l’image de D est
D
, inclused ans D, si D
étaits trictement incluse dans D, on aurait I (D
)s trictement incluse
dans D, ce qui est absurde puisque I ◦ I (D) = D.
• D’une droite ne passant pas par O
Soit D une telle droite,considérons H projection
orthogonale de O sur D et H
image de H par I .
Soit alors M un point de D et M
son image
(Doc.12). Nous avons :
1 = OH .OH
= OM .OM
⇐⇒
OM
OH =
OH
OM
et par alignement des points O, H , H
d’une
part, O, M , M
d’autre part,( OH , OM ) =
(OM
, OH
), les triangles OHM et OM
H
sont donc semblables,c eq ui prouve que l’angle
OM
H
est droit :l’image de D est inclusedans
le cercle C de diamètre [OH
], privédel’origine.
O
H
H 0
M 0
M
Doc. 12
Réciproquement, soit N un point de ce cercle
autre que O, la droite (ON )c oupe D en N
.
Les deux triangles rectangles ONH
et OHN
ont
en commun l’angle
O , ils sont donc semblables,
ce qui prouve que :
ON
OH =
OH
ON ⇐⇒ 1 = OH .OH
= ON .ON
N
= I (N ) ⇐⇒ N = I ( N
) .
L’image de D \{O} est donc C \{O}.
• D’un cercle passant par O, privéde O
D’après l’étude précédente l’image de C \{ O} ,
où C estu nc ercle passant par O, dont un diamètre est OH
, estl ad roite perpendiculaire en
H = I (H
)àce diamètre.
• D’un cercle ne passantpas par O
Soituntel cercle C , d’équation cartésienne :
(E) x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0 c = 0
Soit M un point de ce cercle et M
= I (M ),
donc M = I (M
), nous avons donc :
(x, y) =
x
x 2 + y 2 ,
y
x 2 + y 2
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