Nombres complexes
COURS
1
7.2 • Transformations du plan complexe
Soit z → z
= f (z)u ne application de C dans C ;n ous pouvons lui associer
une application f du plan complexe P qui au point M d’affixe z fait correspondre M
d’affixe z
. Nous allons interpréter géométriquement f , dans
quelques casparticuliers :
• z
→ z
L’application f est la symétrieorthogonale s par rapport àl’axe réel. Rappelons que cette application estinvolutive.
• z
→ az, a ∈ C
∗
Si a = 1, f = Id P , sinonl’origine est le seul point invariant par f .
Notons a = ρe
iα
, alors si z
= 0, z = |z|e
iθ
⇒ z
= ρ|z|e
i(θ+α)
, c’est-à-dire :
OM
= ρOM et (
−−→
OM ,
−−→
OM
) = α [2π]
L’application f estd onc la composée commutative de la rotation de centre
O et d’angle α et de l’homothétie de centre O et de rapport ρ ;c ’est une
similitude directe.
f est bijective ;s ar éciproque est la composée commutative de la rotation de
centre O et d’angle −α et de l’homothétie de centre O et de rapport
1
ρ
.
• z
→ az + b, (a, b) ∈ C
∗ × C
Cherchons tout d’abord si cette applicationpossède des points fixes :
z = az + b ⇐⇒ z (1 − a) = b
–s i a=1 , f ne possède pas d’invariant, l’application f associée à
z
→ z + b est la translation de vecteur
− →
V , d’affixe b, dontlaréciproque
est la translationdevecteur −
− →
V ;
–s ia = 1 , f possède un unique invariant, z 0 =
b
1 − a
, alors
z
= az + b ⇐⇒ z
− z 0 = a ( z − z 0 )
Soit Ω d’affixe z 0 ;n ous sommes ramenés àl’exemple précédent : f est
la composée commutatived el ar otation de centre Ω et d’angle α et de
l’homothétie de centre Ω et de rapport ρ. Sa réciproque est la composée
commutative de la rotation de centre Ω et d’angle −α et de l’homothétie
de centre Ω et de rapport
1
ρ
.
Dans tous les cas, f est une similitude directe. Réciproquement, toute similitude directe, translationo uc omposée rotation-homothétie, esta ssociée àu ne
application de C dans C de la forme z
→ az + b.
• z
→
1
z
f est définie sur C
∗
, àvaleurs dans C
∗
, il est immédiat que cette
application estinvolutive.
Notons z = |z|e
iθ
;a lors : z
=
1
|z|
e
−iθ
, c’est-à-dire :
OM
=
1
OM
et
1
OM
−−→
OM
= s
1
OM
−−→
OM
où s estlasymétrie par rapport àl’axe des réels.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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COURS
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7.2 • Transformations du plan complexe
Soit z → z
= f (z)u ne application de C dans C ;n ous pouvons lui associer
une application f du plan complexe P qui au point M d’affixe z fait correspondre M
d’affixe z
. Nous allons interpréter géométriquement f , dans
quelques casparticuliers :
• z
→ z
L’application f est la symétrieorthogonale s par rapport àl’axe réel. Rappelons que cette application estinvolutive.
• z
→ az, a ∈ C
∗
Si a = 1, f = Id P , sinonl’origine est le seul point invariant par f .
Notons a = ρe
iα
, alors si z
= 0, z = |z|e
iθ
⇒ z
= ρ|z|e
i(θ+α)
, c’est-à-dire :
OM
= ρOM et (
−−→
OM ,
−−→
OM
) = α [2π]
L’application f estd onc la composée commutative de la rotation de centre
O et d’angle α et de l’homothétie de centre O et de rapport ρ ;c ’est une
similitude directe.
f est bijective ;s ar éciproque est la composée commutative de la rotation de
centre O et d’angle −α et de l’homothétie de centre O et de rapport
1
ρ
.
• z
→ az + b, (a, b) ∈ C
∗ × C
Cherchons tout d’abord si cette applicationpossède des points fixes :
z = az + b ⇐⇒ z (1 − a) = b
–s i a=1 , f ne possède pas d’invariant, l’application f associée à
z
→ z + b est la translation de vecteur
− →
V , d’affixe b, dontlaréciproque
est la translationdevecteur −
− →
V ;
–s ia = 1 , f possède un unique invariant, z 0 =
b
1 − a
, alors
z
= az + b ⇐⇒ z
− z 0 = a ( z − z 0 )
Soit Ω d’affixe z 0 ;n ous sommes ramenés àl’exemple précédent : f est
la composée commutatived el ar otation de centre Ω et d’angle α et de
l’homothétie de centre Ω et de rapport ρ. Sa réciproque est la composée
commutative de la rotation de centre Ω et d’angle −α et de l’homothétie
de centre Ω et de rapport
1
ρ
.
Dans tous les cas, f est une similitude directe. Réciproquement, toute similitude directe, translationo uc omposée rotation-homothétie, esta ssociée àu ne
application de C dans C de la forme z
→ az + b.
• z
→
1
z
f est définie sur C
∗
, àvaleurs dans C
∗
, il est immédiat que cette
application estinvolutive.
Notons z = |z|e
iθ
;a lors : z
=
1
|z|
e
−iθ
, c’est-à-dire :
OM
=
1
OM
et
1
OM
−−→
OM
= s
1
OM
−−→
OM
où s estlasymétrie par rapport àl’axe des réels.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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