COURS 1
Nombres complexes
Les formules sont les mêmes que celles qui donnent les solutions d’une équation du
second degré àcoefficients réels ;mais le calcul des racines carrées du discriminant
constitue une étape supplémentaire.
Exemple :Résolvons l’équation
2z
2
− (1 +5i)z−2(1 − i) = 0.
Δ = (1 +5i)
2
+16(1 − i) = −8 − 6i
Cherchons δ = x + iy telque δ
2
= Δ
(x + iy)
2
= −8 − 6i
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
2
+ y
2
= 10
x
2
− y
2
= −8
2xy = −6
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x = ± 1
y = ± 3
xy < 0
D’où
δ = 1 − 3i
ou
δ = −1+3i.
Les solutions de l’équation sont donc :
z 1 =
1+5i+(1−3i)
4
=
1+i
2
z 2 =
1+5i−(1 − 3i)
4
= 2i
Comme danslecas réel, on peut exprimer la somme et le produit
des racines du polynôme az
2
+bz+c en fonction descoefficients :
z 1 + z 2 = −
b
a
; z 1 z 2 =
c
a
Réciproquement, deux nombres complexes dont la somme est S
et le produit P sont les racines,distinctes ou non, du polynôme z
2
− Sz + P.
Pours’entraîner :ex. 11 à18
7 Nombres complexes et géométrie
plane
7.1 • Configurationdetrois points
Soit A, B et M trois points du plan complexe, distincts deux àdeux, d’affixes
respectives a, b et z. Considérons le complexe Z =
z − a
z − b
:
⎧
⎨
⎩
|Z | =
|z − a|
|z − b|
=
AM
BM
arg(Z ) = arg(z − a) − arg(z − b) = (
−−→
BM ,
−−→
AM )[ 2 π ]
Ainsi, le nombre
z − a
z − b
caractérise la position de M par rapportà A et B. Par
exemple:
• ABM est un triangleéquilatéral ⇐⇒
z − a
z − b
= e
± i
π
3 ;
• ABM est un triangleisocèle rectangle en M ⇐⇒
z − a
z − b
= ± i ;
Pour s’entraîner :ex. 19 à23
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