Nombres complexes
COURS
1
Tout nombre complexe nonn ul ad onc n racines n-ièmes distinctes, qui se
déduisentd el ’une d’entre elles en la multipliant par un élément quelconque du
groupe U n . Leur somme est nulle.
x
i
1
0
y
z 1
z 3
z 2
Doc. 11 Racinescubiques de 8i.
Exemple :z
3
=8 i ⇐⇒
⎧
⎨
⎩
| z | = 2
θ =
π
6
+
2 k π
3
z 1 = 2e
iπ
6 =
√
3+i, z 2 =2e
5iπ
6 = −
√ 3+i et z 3 = 2e
3iπ
2 = −2i (Doc. 11).
6.3 • Casdes racines carrées
Tout nombre complexe non nul Z possèdedonc deux racines carrées opposées.
Leur calcul effectif àl’aide de la méthode précédente n’est possible que si l’on peut
écrire facilement Z sous la forme trigonométrique,c eq ui est rare. La méthode
suivante al’avantage d’être plus systématique.
Posons Z = X + iY, avec (X , Y ) ∈ R
2
, et cherchons z = x + iy, avec
(x, y) ∈ R
2
tel que z
2
= Z .
z
2
= Z ⇐⇒ x
2
− y
2
+2ixy = X + iY
⇐⇒
x
2
− y
2
= X (1)
2xy = Y
(2)
De plus :
|z|
2
= |Z |⇐ ⇒x
2
+ y
2
=
√ X 2 + Y 2 (3)
Lesr elations (1) et (3) donnent x et y au signe près. La relation (2) permet
d’apparier les signes de x et de y.
Attention:la fonction racine carrée de la calculatrice ne
donne qu’une solution. On peut utiliser cSolve pourobtenirles deux racines.
Exemple :Calculons les racines carrées de Z = 3 − 4i :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
2 + y
2 = 5
x
2 − y
2 = 3
2xy = −4
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = ± 2
y = ± 1
xy < 0
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = 2e t y = − 1
ou
x = −2e t y = 1
Les racines carrées cherchées sont donc :
z 1 = 2 − i
et
z 2 = −2+i
6.4• Équation du second degré
Considéronsl’équation az
2
+ bz + c = 0, où (a, b, c) ∈ C
3
et
a = 0. On peut écrire le trinôme sous la forme canonique :
az
2
+ bz + c = a
z +
b
2a
2
−
b
2
4a
+ c
L’équation équivaut donc à:
z+
b
2a
2
=
b
2
−4ac
4a 2
Posons Δ = b
2
− 4ac.
• Si Δ = 0, l’équation aune seule solution : z = −
b
2a
.
• Si Δ
= 0, le nombre complexe Δ adeux racines carrées δ et −δ ;l ’équation
adeux solutions :
z 1 =
−b + δ
2a
; z 2 =
−b − δ
2a
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
19