COURS 1
Nombres complexes
6 Racines n-ièmes d’un nombre
complexe
6.1 • Racines n -ièmes de l’unité
Soit n ∈ N
∗
. Résolvonsl ’équation z
n
= 1. Cherchons une solution sous la
forme trigonométrique z = |z|e
iθ
.
z
n
= 1 ⇐⇒ | z |
n
e
inθ
= 1 ⇐⇒
| z |
n
= 1
n θ = 2 k π
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
| z | = 1
θ =
2 k π
n
( k ∈ Z )
L’ensemble des solutions est donc :
U n =
e
2ikπ
n
, k ∈ Z
Notons que (U n , ×)e st un sous-groupe de (U , ×)( voir chapitre 10). On obtient
tous ses éléments en donnant à k , n valeurs consécutives (par exemple, k ∈
[[ 0 , n − 1]]).
x
y
4i π
5
e
2i π
5
e
6i π
5
e
8iπ
5
e
1
0
Doc. 10 Racines 5-ième de l’unité.
Dans le plan complexe,l es images des éléments de U n formentu np olygone
régulier à n côtés (si n 3) (Doc. 10).
La sommed es éléments de U n est nulle (somme des termes d’une suite géométrique) :
n−1
k=0
e
2ikπ
n
=
1−e
2inπ
n
1 − e
2iπ
n
= 0
Exemple:Racines cubiques de l’unité. Posons j = e
2iπ
3 .
U 3 = {1, j, j
2
} et 1+j+j
2
=0.
6.2• Racines n -ièmesd’un nombre complexe quelconque
Soit Z un nombre complexe quelconque et n ∈ N
∗
.
Résolvonsl’équation z
n
= Z .
Si Z = 0, il yaune solution unique : z = 0.
Si Z
= 0, cherchons les solutions sous la forme trigonométrique z = |z|e
iθ
.
Posons Z = |z| e
i α
z
n
= Z ⇐⇒ | z |
n
e
inθ
= |Z |e
i α
⇐⇒
| z |
n
= | Z |
n θ = α +2kπ
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
| z | =
n
| Z |
θ =
α
n
+
2 k π
n
( k ∈ Z )
z
n
= Z ⇐⇒ z =
n
| Z | e
i α
n × e
2 ikπ
n
(k ∈ Z)
18